Câu hỏi:

Điều kiện xác định: \(x \ne 1;\,x \ne 2.\)

\(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{7}{{x - 2}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)

\(\frac{{1 \cdot \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{7 \cdot \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

\(1 \cdot \left( {x - 2} \right) - 7 \cdot \left( {x - 1} \right) = - 1\)

\(x - 2 - 7x + 7 = - 1\)

\( - 6x = - 6\)

\(x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình vô nghiệm. 

Ta có \({\left( {x + 2} \right)^2} < x + {x^2}-3\)

\({x^2} + 4x + 4 < x + {x^2}-3\)

\(\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\)

\(3x < - 7\)

\(x < - \frac{7}{3}\)

Do đó, nghiệm của bất phương trình là \(x < - \frac{7}{3}.\)

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho là \(x = - 3.\)

Theo tính chất tỉ số lượng giác hai góc nhọn phụ nhau, ta có \(\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right).\)

Khi đó, ta có \(A = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \alpha - 2\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha - 2\sin \alpha }} = \frac{{4\sin \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \,4.\)

a) Đúng. Phương trình \(\left( * \right)\) có các hệ số là \(a = 4;\,b = - 7;\,c = 1.\)

b) Sai. Để phương trình có dạng \(ax + by = c\) là phương trình bậc nhất hai ẩn thì \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)

Do đó, phương trình \(\left( * \right)\) là phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,{\rm{ }}y\) vì \(a = 4 \ne 0\); \(b = - 7 \ne 0.\)

c) Sai. Thay \(x = 0;{\rm{ }}y = 5\) vào phương trình \(\left( * \right)\), ta được: \(4 \cdot 0 - 7 \cdot 5 = -\,35 \ne - 1.\)

Do đó cặp số \(\left( {0;\,5} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\).

d) Đúng. Ta có \(4x - 7y = - 1\) suy ra \(7y = 4x + 1\) nên \(y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}\). 

Do đó, biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là đường thẳng \(y = \frac{4}{7}x + \frac{1}{7}.\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(4x = 8\), suy ra \(x = 2.\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x - y = 1,\) ta được: \(2 - y = 1,\) suy ra \(y = 1.\)

Do đó \(x + y = 2 + 1 = 3.\)