Câu hỏi:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số có dạng:

\(y=f\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}},\) với \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tiếp điểm.

Ta có \(y\text{ }\!\!'\!\!\text{ }=3{{x}^{2}}-6x\Rightarrow f\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\left( 3 \right)=y\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\left( 3 \right)=9\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( 3;1 \right)\). là \(y=9x-26\).

Ta có:\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,\,y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,\,\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}}{1+\frac{m}{x}+\frac{4}{{{x}^{2}}}}=0\).

Nên đồ thị hàm số luôn có một đường tiệm cận ngang là \(y=0\).

Do đó để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận thì phương trình: \({{x}^{2}}+mx+4=0\) có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có \(1\) nghiệm bằng \(1\).

Khi đó \(\left[ \begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-16=0 \\ m\ne -5 \\ \end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-16>0 \\ m=-5 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-16=0 \\ m\ne -5 \\ \end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-16>0 \\ m=-5 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \begin{matrix} m=4 \\ m=-4 \\ \end{matrix} \\ m=-5 \\ \end{matrix} \right.\).

Vậy \(m\in \left\{ -4\,;\,4\,;\,-5 \right\}\) nên có \(3\) giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do tấm tôn có diện tích bằng \(4{{\text{m}}^{2}}\) nên \(xy=4\Leftrightarrow y=\frac{4}{x}\)

Thùng có chiều cao là \(0,5\) m và các kích thước còn lại của thùng là: \(x-1\) và \(y-1\)

Thể tích của thùng là:

\(\begin{align} & V\left( x \right)=0,5.\left( x-1 \right)\left( y-1 \right)=\frac{1}{2}\left( x-1 \right)\left( \frac{4}{x}-1 \right) \\ & =\frac{1}{2}\frac{\left( x-1 \right)\left( 4-x \right)}{x} \\ \end{align}\)

Suy ra: \(y=\frac{1}{V\left( x \right)}=\frac{2x}{\left( x-1 \right)\left( 4-x \right)}\)

Ta có: \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{V(x)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{\left( x-1 \right)\left( 4-x \right)}=+\infty \)

và \(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{V\left( x \right)}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{\left( x-1 \right)\left( 4-x \right)}=-\infty \)

\(\Rightarrow \) Dường thẳng \(x=1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{V\left( x \right)}\)

\(\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{V(x)}=\underset{x\to {{4}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{\left( x-1 \right)\left( 4-x \right)}=-\infty \)

\(\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{V\left( x \right)}=\underset{x\to {{4}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{\left( x-1 \right)\left( 4-x \right)}=+\infty \)

\(\Rightarrow \) Đường thẳng \(x=4\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{V\left( x \right)}\)

Vậy đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{V\left( x \right)}\) có \(2\) đường tiệm cận đứng.

Ta có \(4{{f}^{2}}\left( x \right)-9=0\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)=\frac{9}{4}\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} f\left( x \right)=\frac{3}{2}\,\left( 1 \right) \\ f\left( x \right)=\frac{-3}{2}\,\left( 2 \right) \\ \end{matrix} \right.\).

Dựa vào bảng biến thiên: phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm.

Hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên đoạn \(\left[ 0\,;\,2 \right]\).

Ta có: \(y=-3{{x}^{2}}+3\).

Xét \(y=0\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+3=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1\notin \left[ 0\,;\,2 \right.] \\ & x=1\in \left[ 0\,;\,2 \right.] \\ \end{align} \right.\).

Ta có: \(y\left( 1 \right)=-1+3=2\); \(y\left( 0 \right)=0\) và \(y\left( 2 \right)=-8+6=-2\).

Vậy \(\underset{x\in \left[ 0\,;\,2 \right]}{\mathop{\text{maxy}}}\,\,=2\).