Câu hỏi:

Vì \({\rm{tan}}\alpha  =  - 3\) nên \({\rm{cos}}\alpha  \ne 0\).

Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho \({\rm{cos}}\alpha \) ta được:

\(P = \frac{{6{\rm{tan}}\alpha  - 7}}{{6 + 7{\rm{tan}}\alpha }}\)\( = \frac{{6.\left( { - 3} \right) - 7}}{{6 + 7.\left( { - 3} \right)}} = \frac{5}{3}\).

a) Đúng.

Tọa độ điểm \(M\left( {1;2} \right)\) thỏa mãn hệ (I) nên điểm M thuộc miền nghiệm của hệ (I).

b) Sai.

Tọa độ điểm \(N\left( {2;3} \right)\) thỏa mãn hệ (I) nên điểm M thuộc miền nghiệm của hệ (I).

c) Đúng.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ (I) trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được miền nghiệm là miền trong của ngũ giác OABCD (kể cả các cạnh).

Trong đó \(A\left( {1;0} \right),\,B\left( {4;3} \right),\,C\left( {2;4} \right),\,D\left( {0;4} \right)\).

d) Sai.

Biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = x - 2y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các đỉnh của ngũ giác OABCD.

Ta có:

\(F\left( {0;0} \right) = 0 - 2.0 = 0\).

\(F\left( {1;0} \right) = 1 - 2.0 = 1\).

\(F\left( {4;3} \right) = 4 - 2.3 =  - 2\).

\(F\left( {2;4} \right) = 2 - 2.4 =  - 6\).

\(F\left( {0;4} \right) = 0 - 2.4 =  - 8\).

Vậy \({\rm{min}}F\left( {x;y} \right) =  - 8\) khi \(x = 0,\,y = 4\).

a) Đúng.

Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BD} \).

b) Sai.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DB}  = DB = a\sqrt 2 \).

c) Đúng.

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {DB}  =  - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} \)\( =  - BA.BD.{\rm{cos}}\widehat {ABD}\)\( =  - a.a\sqrt 2 .{\rm{cos}}{45^ \circ } =  - {a^2}\).

d) Sai.

Gọi I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \vec 0\).

Suy ra I là tâm hình vuông ABCD.

Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}T&{ = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right|}\\{}&{ = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {ID} } \right|}\\{}&{ = \left| {4\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right)} \right|}\\{}&{ = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| = 4MI.}\end{array}\)

T đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Vì M là điểm tùy ý nên MI nhỏ nhất khi M và I trùng nhau.

Vậy \({\rm{min}}T = 0\).

Ta có \(2MB = 3MC\), suy ra \(MB = \frac{2}{5}BC\).

Do đó \(\overrightarrow {BM}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \).

Từ đây ta có \(a = 3,\,b = 2,\,c = 5\).

Vậy \(T = {a^2} + {b^2} - {c^2} = {3^2} + {2^2} - {5^2} =  - 12\).

Gọi độ dài cạnh AB là x m \((0 < x < 180)\).

Ta có \(BC = 180 - AB - EF - CD = 180 - 3x\) (m).

Diện tích khu đất được rào là:

\(S = x\left( {180 - 3x} \right) =  - 3{x^2} + 180x\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 180x\) trên khoảng \(\left( {0;180} \right)\).

Hàm số f(x) là một parabbol có hệ số của \({x^2}\) bằng \( - 3 < 0\) nên có bề lõm quay xuống.

Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x =  - \frac{{180}}{{2.\left( { - 3} \right)}} = 30\).

Do đó \({\rm{max}}f\left( x \right) = f\left( {30} \right) =  - {3.30^2} + 180.30 = 2700\).

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất là 2700 \({{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).