Câu hỏi:

a) Đúng.

Theo quy tắc hình bình hành, \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BD} \).

b) Sai.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DB}  = DB = a\sqrt 2 \).

c) Đúng.

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {DB}  =  - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} \)\( =  - BA.BD.{\rm{cos}}\widehat {ABD}\)\( =  - a.a\sqrt 2 .{\rm{cos}}{45^ \circ } =  - {a^2}\).

d) Sai.

Gọi I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \vec 0\).

Suy ra I là tâm hình vuông ABCD.

Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}T&{ = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right|}\\{}&{ = \left| {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {ID} } \right|}\\{}&{ = \left| {4\overrightarrow {MI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID} } \right)} \right|}\\{}&{ = \left| {4\overrightarrow {MI} } \right| = 4MI.}\end{array}\)

T đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất.

Vì M là điểm tùy ý nên MI nhỏ nhất khi M và I trùng nhau.

Vậy \({\rm{min}}T = 0\).

Ta có \(2MB = 3MC\), suy ra \(MB = \frac{2}{5}BC\).

Do đó \(\overrightarrow {BM}  = \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \)

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \).

Từ đây ta có \(a = 3,\,b = 2,\,c = 5\).

Vậy \(T = {a^2} + {b^2} - {c^2} = {3^2} + {2^2} - {5^2} =  - 12\).

Gọi độ dài cạnh AB là x m \((0 < x < 180)\).

Ta có \(BC = 180 - AB - EF - CD = 180 - 3x\) (m).

Diện tích khu đất được rào là:

\(S = x\left( {180 - 3x} \right) =  - 3{x^2} + 180x\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 180x\) trên khoảng \(\left( {0;180} \right)\).

Hàm số f(x) là một parabbol có hệ số của \({x^2}\) bằng \( - 3 < 0\) nên có bề lõm quay xuống.

Suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x =  - \frac{{180}}{{2.\left( { - 3} \right)}} = 30\).

Do đó \({\rm{max}}f\left( x \right) = f\left( {30} \right) =  - {3.30^2} + 180.30 = 2700\).

Vậy diện tích lớn nhất của khu đất là 2700 \({{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

Ta có

\(\overrightarrow {DG}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AG} \)\( =  - \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)\( =  - \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\)\( =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \).

\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)\( = \overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {AD} \) (với \(\overrightarrow {BM}  = k\overrightarrow {BC} \)).

Theo giả thiết \(DG \bot AM \Leftrightarrow \overrightarrow {DG} .\overrightarrow {AM}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - \frac{2}{3}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  + k\overrightarrow {AD} } \right) = 0\).

Với \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = a.2a.{\rm{cos}}{120^ \circ } =  - {a^2}\)

\( \Rightarrow \frac{2}{3}{a^2} - \frac{{2k}}{3}{a^2} + \frac{1}{3}{(2a)^2} + \frac{k}{3}\left( { - {a^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{2}{3} - \frac{{2k}}{3} + \frac{4}{3} - \frac{k}{3} = 0 \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy điểm M trên BC thỏa mãn \(\overrightarrow {BM}  = 2\overrightarrow {BC} \).

Độ dài đường cũ là độ dài \(AC + BC\).

Độ dài đường mới là AB.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

\(AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}{{135}^ \circ }} \) (km).

Ta có \(AC + BC - AB \approx 2,76\) km.

Vậy con đường mới sẽ rút ngắn được khoảng \(2,76\) km so với con đường cũ.