Câu hỏi:

\(A = \left[ {0;2\,025} \right)\backslash \left( {0;100} \right] = \left( {100;2\,025} \right) \cup \left\{ 0 \right\}\).

Trong tập hợp \(\left( {100;2\,025} \right)\) có số phần tử nguyên là:

\(\frac{{2\,024 - 101}}{1} + 1 = 1\,\,924\).

Do đó tập hợp A có số phần tử nguyên là: \(1\,\,924 + 1 = 1\,\,925\).

Ta có: \(\hat A = {180^ \circ } - {45^ \circ } - {15^ \circ } = {120^ \circ }\).

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\,A}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}\,B}}\)\( \Leftrightarrow AC = \frac{{BC.\,{\rm{sin}}\,B}}{{{\rm{sin}}\,A}} = \frac{{10\sqrt 6 .\,{\rm{sin}}4\,{5^ \circ }}}{{{\rm{sin}}\,{{120}^ \circ }}} = 20\).

Vì ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào vật tại điểm O và vật đứng yên.

Do đó: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}}  =  - \left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} \left|  =  \right|\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 100N\).

Dựng hình bình hành OADB có \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \) và \(\widehat {AOB} = {120^ \circ }\).

Do đó \(OA = OB = 100\) nên OADB là hình thoi.

Đường chéo OD đồng thời là tia phân giác của góc \(AOB.\)

Suy ra: \(\widehat {AOD} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}{.120^ \circ } = {60^ \circ }\).

Do đó tam giác AOD là tam giác đều.

Suy ra: \(OD = OA = 100\).

Do OADB là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} \) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\overrightarrow {{F_3}}  =  - \overrightarrow {OD} \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} \left|  =  \right|\overrightarrow {OD} } \right| = 100N\).

Số học sinh chỉ chọn âm nhạc: \(24 - 10 = 14\) học sinh.

Số học sinh chỉ chọn thể thao: \(17 - 10 = 7\) học sinh.

Số học sinh không lựa chọn cả hai nội dung là:

\(43 - 14 - 7 - 10 = 12\) học sinh.

Ta biểu diễn lại hình như trên. \(AC\) là độ dài sợi dây cáp, \(AB\) là độ dài tháp.

Như vậy \(AB = 42\) m, \(BC = 33\) m, \(\widehat {BMH} = {35^ \circ }\), \(\widehat {MHB} = {90^ \circ }\).

Xét tam giác MBH: \(\widehat {MBH} + \widehat {MHB} + \widehat {BMH} = {180^ \circ }\).

\( \Rightarrow \widehat {MBH} = {180^ \circ } - {90^ \circ } - {35^ \circ } = {55^ \circ }\).

\(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {MBH}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {ABC} = {55^ \circ }\) ( tính chất hai góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí cosin cho tam giác\(ABC\):

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\,\widehat {ABC}\)

\(A{C^2} = {43^2} + {33^2} - 2.43.33.{\rm{cos}}\,{55^ \circ }\)

\( \Rightarrow AB \approx 36,2\) m

Vậy chiều dài sợi dây cáp khoảng \(36,2\) m.