Câu hỏi:

Số học sinh chỉ chọn âm nhạc: \(24 - 10 = 14\) học sinh.

Số học sinh chỉ chọn thể thao: \(17 - 10 = 7\) học sinh.

Số học sinh không lựa chọn cả hai nội dung là:

\(43 - 14 - 7 - 10 = 12\) học sinh.

Ta biểu diễn lại hình như trên. \(AC\) là độ dài sợi dây cáp, \(AB\) là độ dài tháp.

Như vậy \(AB = 42\) m, \(BC = 33\) m, \(\widehat {BMH} = {35^ \circ }\), \(\widehat {MHB} = {90^ \circ }\).

Xét tam giác MBH: \(\widehat {MBH} + \widehat {MHB} + \widehat {BMH} = {180^ \circ }\).

\( \Rightarrow \widehat {MBH} = {180^ \circ } - {90^ \circ } - {35^ \circ } = {55^ \circ }\).

\(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {MBH}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {ABC} = {55^ \circ }\) ( tính chất hai góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí cosin cho tam giác\(ABC\):

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\,\widehat {ABC}\)

\(A{C^2} = {43^2} + {33^2} - 2.43.33.{\rm{cos}}\,{55^ \circ }\)

\( \Rightarrow AB \approx 36,2\) m

Vậy chiều dài sợi dây cáp khoảng \(36,2\) m.

Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số ha trồng đậu và trồng cà chua của hộ nông dân.

Số ngày công trồng đậu và cà chua của hộ nông dân là \(20x + 30y\).

Vì có tổng diện tích là 8 ha trồng đậu và cà chua nên ta có bất phương trình \(x + y \le 8\).

Vì tổng số ngày công không vượt quá 180 nên ta có bất phương trình \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\).

Khi đó ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\).

Hệ bất phương trình có miền nghiệm là miền tứ giác OABC với \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {0;6} \right)\), \(B\left( {6;2} \right)\) và \(C\left( {8;0} \right)\).

Tiền lãi: \(F\left( {x;y} \right) = 3x + 4y\).

Bài toán trở về bài toán tìm \(x,\,y\) thỏa mãn sao cho F(x;y) lớn nhất và xảy ra tại một trong các điểm \(O,\,A,\,B,\,C\)

Ta thấy \(F\left( {0;0} \right) = 0\), \(F\left( {0;6} \right) = 24\), \(F\left( {6;2} \right) = 26\) và \(F\left( {8;0} \right) = 24\).

Tại điểm B thì F(x,y) đạt giá trị lớn nhất. Do đó cần trồng 6 sào đậu và 2 sào cà chua.

Số tiền lãi cao nhất bác Nam thu được là 26 triệu đồng.

Mệnh đề " Có một số mà bình phương không âm" viết lại bằng kí hiệu toán học là "\(\exists \,x \in R\left| {\,{x^2} \ge } \right.0\)".

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y > 4}\\{x - 3y \le 1}\end{array}} \right.\) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.