Câu hỏi:

Ta có: \({C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash \left( { - \infty ;m} \right) = \left[ {m;\, + \infty } \right)\).

Do đó \({C_\mathbb{R}}A \cap B \ne \emptyset \)\( \Leftrightarrow 3m + 3 \ge m\)\( \Leftrightarrow m \ge  - \frac{3}{2}\).

Vậy số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là \( - 1\).

Gọi T,  L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lí.

Ta có:

\(n\left( T \right)\) : là số học sinh giỏi Toán

\(n\left( L \right)\) : là số học sinh giỏi Lí

\(n\left( {T \cap L} \right)\) : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lí

Khi đó số học sinh của lớp là: \(n\left( {T \cup L} \right) + 6\).

Mà \(n\left( {T \cup L} \right) = n\left( T \right) + n\left( L \right) - n\left( {T \cap L} \right) = 25 + 23 - 14 = 34\).

Vậy số học sinh của lớp là \(34 + 6 = 40\) học sinh.

Do \(x > 0,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) nên ta có \(\frac{y}{3} < 1 \Leftrightarrow y < 3\).

Do y nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Với \(y = 1\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{1}{3} - 1 \le 0\\x > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 1\).

Với \(y = 2\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{2}{3} - 1 \le 0\\x > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow x \in \emptyset \).

Vậy bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) có nghiệm nguyên dương là \(\left( {1;1} \right)\).

Gọi x và y lần lượt lần lượt là số ha cà phê và cacao mà hộ nông dân này trồng \(\left( {x \ge 0;\,y \ge 0} \right)\).

Lợi nhận thu được là \(f\left( {x;y} \right) = 10x + 12y\) (triệu đồng).

Vì số công để trồng cà phê không vượt quá 100 nên:

\(20x \le 100\) hay \(x \le 5\).

Vì số công để trồng cacao không vượt quá 180 nên:

\(30y \le 180\) hay \(y \le 6\).

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 10\\0 \le x \le 5\\0 \le y \le 6\end{array} \right.\).

Miền nghiệm của hệ là ngũ giác OABCD (kể cả biên) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {5;0} \right),\,B\left( {5;5} \right),\,C\left( {4;6} \right),\,D\left( {0;6} \right)\).

Dễ thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(x = 4;\,y = 6\).

Vậy cần trồng 4 ha cà phê và 6 ha cacao để thu được lợi nhuận lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 2\\y \ge 0\\y \le 3\end{array} \right.\) như sau:

Từ hình vẽ nhận thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD kể cả biên (phần không tô màu) với \(A\left( {1;3} \right)\); \(B\left( {2;3} \right)\); \(C\left( {2;0} \right)\); \(D\left( {1;0} \right)\).

Người ta chứng minh được: biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất tại các cặp số (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.

Tính giá trị của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - x + 4y\) tại các cặp số (x;y) là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác ABCD rồi so sánh các giá trị đó ta được giá trị nhỏ nhất bằng \( - 2\) khi \(x = 2;\,y = 0\).