Câu hỏi:

Vì \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha  = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{7}{{16}}\).

Mà \({0^ \circ } < \alpha  < {90^ \circ }\) nên \({\rm{sin}}\alpha  > 0\).

Do đó \({\rm{sin}}\alpha  = \sqrt {\frac{7}{{16}}}  = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\).

\({\rm{tan}}\alpha  = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = \frac{{\frac{{\sqrt 7 }}{4}}}{{ - \frac{3}{4}}} =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}\);

\({\rm{cot}}\alpha  = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\).

Gọi tập hợp học sinh chỉ thích cầu lông là A, chỉ thích bóng đá là B, thích cả hai môn là C.

Theo giả thiết: \(n\left( A \right) = 18\); \(n\left( B \right) = 13\); \(n\left[ {\left( {A \cup B} \right) \cup C} \right] = 40\).

⚡Số học sinh thích chơi cả hai môn câu lông và bóng đá:

\(n\left( C \right) = 40 - \left( {18 + 13} \right) = 9\) (học sinh).

⚡Số học sinh thích bóng đá:

\(n\left( {B \cup C} \right) = 13 + 9 = 22\) (học sinh).

⚡Số học sinh thích câu lông:

\(n\left( {A \cup C} \right) = 18 + 9 = 27\) (học sinh).

⚡Số học sinh chỉ thích chơi một trong hai môn cầu lông và bóng đá:

\(n\left( {A \cup B} \right) = 18 + 13 = 31\) (học sinh).

Ta có: \({C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash \left( { - \infty ;m} \right) = \left[ {m;\, + \infty } \right)\).

Do đó \({C_\mathbb{R}}A \cap B \ne \emptyset \)\( \Leftrightarrow 3m + 3 \ge m\)\( \Leftrightarrow m \ge  - \frac{3}{2}\).

Vậy số nguyên m nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là \( - 1\).

Gọi T,  L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lí.

Ta có:

\(n\left( T \right)\) : là số học sinh giỏi Toán

\(n\left( L \right)\) : là số học sinh giỏi Lí

\(n\left( {T \cap L} \right)\) : là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lí

Khi đó số học sinh của lớp là: \(n\left( {T \cup L} \right) + 6\).

Mà \(n\left( {T \cup L} \right) = n\left( T \right) + n\left( L \right) - n\left( {T \cap L} \right) = 25 + 23 - 14 = 34\).

Vậy số học sinh của lớp là \(34 + 6 = 40\) học sinh.

Do \(x > 0,\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) nên ta có \(\frac{y}{3} < 1 \Leftrightarrow y < 3\).

Do y nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Với \(y = 1\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{1}{3} - 1 \le 0\\x > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 1\).

Với \(y = 2\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{2}{3} - 1 \le 0\\x > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow x \in \emptyset \).

Vậy bất phương trình \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \le 0\) có nghiệm nguyên dương là \(\left( {1;1} \right)\).