Câu hỏi:

Ta có miền nghiệm của hệ đã cho là miền tứ giác ABCD, kể cả các biên (phần tô màu) với \(A\left( {5;4} \right),\,B\left( {\frac{5}{2};9} \right),\,C\left( {10;9} \right),\,\,D\left( {10;2} \right)\).

Gọi \(M,\,N\) lần lượt là hình chiếu của A lên \(DC,\,BC\).

Ta có \(M\left( {10;4} \right),\,N\left( {5;9} \right)\)

Ta có \({S_{ABCD}} = {S_{AMCN}} + {S_{ABN}} + {S_{ADM}} = 5.5 + \frac{1}{2}.\frac{5}{2}.5 + \frac{1}{2}.2.5 = \frac{{145}}{4}\).

Đặt \(x \ge 0,\,y \ge 0\) lần lượt là số kg sản phẩm A và B mà nhà máy sản xuất được.

Từ giả thiết bài toán ta có hệ bất phương trình hai ẩn: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\5x + 2y \le 175\\4x + 2y \le 150\end{array} \right.\) (I)

Số tiền mà nhà máy cần để sản xuất x kg sản phẩm A và y kg sản phẩm B là:

\(1.\left( {5x + 2y} \right) + 2.\left( {4x + 2y} \right) = 13x + 6y\) triệu đồng;

Số tiền mà nhà máy thu được khi bán x kg sản phẩm A và y kg sản phẩm B là:

\(18x + 8,25y\) (triệu đồng);

Số tiền lời mà nhà máy thu được khi bán x kg sản phẩm A và y kg sản phẩm B là:

\(P = 18x + 8,25y - 13x - 6y - 20 = 5x + 2,25y - 20\) (triệu đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là

Thay tọa độ \(A,\,B,\,C\) vào P ta được:

\({P_A} = 148,75\) triệu đồng, \({P_B} = 161,25\) triệu đồng, \({P_C} = 155\) triệu đồng.

Vậy để lợi nhuận là lớn nhất nhà máy phải sản xuất 25 sản phẩm A.

Quãng đường ô tô đi từ A đến C qua B là:

\({S_1} = AB + BC = 15 + 20 = 35\) km.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{A{C^2}}&{ = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}}\\{}&{ = {{15}^2} + {{20}^2} - 2.15.20.cos{{120}^{^\circ }} = 925}\end{array}\)

\( \Rightarrow AC = 5\sqrt {37} \).

Nếu đi theo đường hầm thì quãng đường ô tô đi ít hơn là;

\(S = {S_1} - AC = 35 - 5\sqrt {37}  \approx 4,6\).

Ô tô tiết kiệm được số tiền là \(4,6\,:\,5.20\,000 = 18\,400\) đồng.

Ta có: \(S = \frac{1}{2}bc{\rm{sin}}A = \frac{1}{2}ac{\rm{sin}}B = \frac{1}{2}ab{\rm{sin}}C\).

Ta có \({\rm{sin}}{0^ \circ } + {\rm{cos}}{0^ \circ } = 1\).