Câu hỏi:

\(\text{cos}\alpha =\frac{3}{4}\Rightarrow \text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =\frac{9}{16}\).

Vì \(\text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha +\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =1\Rightarrow \text{si}{{\text{n}}^{2}}\alpha =1-\text{co}{{\text{s}}^{2}}\alpha =\frac{7}{16}\).

\(A=3.\frac{7}{16}+\frac{9}{16}=\frac{15}{8}\).

\(B=5.\frac{7}{16}-3.\frac{9}{16}=\frac{1}{2}\).

\(C=\sqrt{\frac{7}{16}+{{\left( \frac{9}{16} \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \frac{7}{16} \right)}^{2}}+\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{193}}{8}\).

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5 000 đồng, một tờ 10 000 đồng, một tờ 20 000 đồng lần lượt là: x, y, z (học sinh).

Số học sinh ủng hộ một tờ 5 000 đồng và một tờ 10 000 đồng là: 

Số học sinh ủng hộ một tờ 10 000 đồng và một tờ 20 000 đồng là: 

Số học sinh ủng hộ một tờ 20 000 đồng và một tờ 5 000 đồng là: 

với \(x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c\in \mathbb{N}\).

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{align}  & x=y+z\left( 1 \right) \\  & y+b=2\left( z+b \right)\left( 2 \right) \\  & x=a+c+1\left( 3 \right) \\  & x+y+z+a+b+c=25\left( 4 \right) \\ \end{align} \right.\); với \(x, y, z, a, b, c\in \mathbb{N}\)

Từ (2): \(y-2z=b\ge 0\) ↔︎ \(y\ge 2z\) (*)

Thế (1), (2), (3) vào (4) và khử x,a,b,c, ta được:

\(4y+z=26\Leftrightarrow y=\frac{26-z}{4}\le \frac{26}{4}\).

Từ điều kiện (*):

\(y=\frac{26-z}{4}=\frac{52-2z}{8}\ge \frac{52-y}{8}\)\(\Leftrightarrow 9y\ge 52\)\(\Leftrightarrow y\ge \frac{52}{9}\).

Do đó: \(\frac{52}{9}\le y\le \frac{26}{4}\) và \(y\in \mathbb{N}\).

Suy ra: \(y=6\); \(z=2\); \(x=8\).

Vậy có 6 học sinh lớp 2A chỉ ủng hộ một tờ 10 000 đồng.

Gọi x, y lần lượt là số bông hoa loại 15 000/bông và loại 20 000/bông mà Nga mu

Điều kiện \(x\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\); \(y\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Theo đề bài ta có bất phương trình \(15x+20y\le 200\).

Mà theo đề, x, y chia hết cho 3 nên giả sử \(x=3n;\,y=3m;\) với \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\).

Suy ra ta có \(45n+60m\le 200\)\(\Leftrightarrow 9n+12m\le 40\) (1)

Vì \(m,\,n\in {{\mathbb{N}}^{\text{*}}}\) và từ (1) ta suy ra \(\left\{ \begin{align}  & 1\le n\le 4 \\  & 1\le m\le 3 \\ \end{align} \right.\).

Gọi \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)\) là nghiệm của (1).

Ta có bảng giá trị các nghiệm của (1) như sau:

Dựa vào bảng trên ta nhận thấy \(\left( {{n}_{0}};{{m}_{0}} \right)=\left( 3;1 \right)\) thì số tiền mua hoa là nhiều nhất:

\(9.15\,000+3.20\,000=195\,000\) đồng.

Khi đó, số tiền dư ít nhất là 5 000 đồng.

Để bất phương trình \(\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+m \right)y-1>0\) là bậc nhất hai ẩn thì:

\({{(m+1)}^{2}}+{{({{m}^{2}}+m)}^{2}}>0\)\(\Leftrightarrow {{(m+1)}^{2}}\left( 1+{{m}^{2}} \right)>0\)\(\Leftrightarrow m\ne -1\).

Điểm \(M\left( 1;2 \right)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(\left( m+1 \right)x+\left( {{m}^{2}}+m \right)y-1>0\) nên tọa độ điểm \(M\left( 1;2 \right)\) thỏa mãn bất phương trình.

Từ đó ta có:

\(m+1+2\left( {{m}^{2}}+m \right)-1>0\)\(\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+3m>0\(\Leftrightarrow m\left( 2m+3 \right)>0\) (*)

(*) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & \left\{ \begin{aligned}  & m>0 \\  & 2m+3>0 \\ \end{aligned} \right. \\  & \left\{ \begin{aligned}  & m<0 \\  & 2m+3<0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & \left\{ \begin{aligned}  & m>0 \\  & m>-\frac{3}{2} \\ \end{aligned} \right. \\  & \left\{ \begin{aligned}  & m<0 \\  & m<-\frac{3}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}  & m>0 \\  & m<-\frac{3}{2} \\ \end{aligned} \right.\)

Kết hợp với điều kiện \(m\ne -1\) ta được \(m\in \left( -\infty ;-\frac{3}{2} \right)\cup \left( 0;+\infty  \right)\).

Gọi \(x,\,y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất đượ

Tổng nguyên liệu được dùng là \(2x+4y\) (kg); tổng thời gian sản xuất là \(30x+15y\) (giờ); \(x,\,y>0\).

Ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{align}  & 2x+4y\le 200 \\  & 30x+15y\le 1200 \\  & x\ge 0 \\  & y\ge 0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & x+2y\le 100 \\  & 2x+y\le 80 \\  & x\ge 0 \\  & y\ge 0 \\ \end{align} \right.\)

Vẽ trên cùng hệ trục các đường thẳng \({{d}_{1}}:x+2y=100\), \({{d}_{2}}:2x+y=80\), \({{d}_{3}}:y=0\), \({{d}_{4}}:x=0\)

Ta có điểm \(M\left( 1;1 \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng \({{d}_{1}},\,{{d}_{2}},\,{{d}_{3}},\,{{d}_{4}}\) và không chứa điểm M ).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của tứ giác OABC (kể cả các cạnh của tứ giác đó) với \(O\left( 0;0 \right)\),  \(A\left( 0;50 \right)\),  \(B\left( 20;40 \right)\),  \(C\left( 40;0 \right)\).

Lãi thu về từ việc sản xuất hai sản phẩm:

\(F\left( x;y \right)=40x+30y\) (nghìn đồng).

Tại \(O\left( 0;0 \right)\), ta có \(F\left( 0;0 \right)=0\);

tại \(A\left( 0;50 \right)\), ta có \(F\left( 0;50 \right)=1\,500\);

tại \(B\left( 20;40 \right)\), ta có \(F\left( 20;40 \right)=2\,000\);

tại \(C\left( 40;0 \right)\), ta có \(F\left( 40;0 \right)=1\,600\).

Vậy lãi suất cao nhất thu được bằng 2 000 000 đồng, khi đó \(x=20,\,y=40\) (tức là xưởng cần sản xuất ra 20 sản phẩm loại I và 40 sản phẩm loại II).