Trong không gian với hệ tọa độ , một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là với tốc độ là (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). a) Phương trình tham số của đường cáp là: . b) Giả sử sau thời gian kể từ lúc xuất phát , cabin đến điểm . Khi đó tọa độ điểm là . c) Cabin dừng ở điểm có hoành độ , phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường cáp là . d) Đường cáp tạo với mặt phẳng một góc .

Trong không gian với hệ tọa độ , một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là với tốc độ là (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

a) Phương trình tham số của đường cáp là: .

b) Giả sử sau thời gian kể từ lúc xuất phát , cabin đến điểm . Khi đó tọa độ điểm là .

c) Cabin dừng ở điểm có hoành độ , phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường cáp là .

d) Đường cáp tạo với mặt phẳng một góc .

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích từng phần: **a) Phương trình tham số của đường cáp:** Đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ có phương trình tham số là: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$ Trong trường hợp này, $M(1; 2; 0)$ và $\vec{u} = (1; 1; 1)$, vậy phương trình tham số là: $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = t \end{cases}$ **b) Tọa độ điểm N sau thời gian t:** Vì cabin di chuyển với tốc độ $2$ và $\vec{u} = (1; 1; 1)$, vectơ vận tốc là $2\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} = 2\frac{(1; 1; 1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}(1; 1; 1)$. Vậy tọa độ điểm $N$ sau thời gian $t$ là: $\begin{cases} x = 1 + \frac{2}{\sqrt{3}}t \\ y = 2 + \frac{2}{\sqrt{3}}t \\ z = \frac{2}{\sqrt{3}}t \end{cases}$ **c) Phương trình mặt phẳng đi qua P và vuông góc với đường cáp:** Điểm $P$ có hoành độ là $3$, vậy $3 = 1 + t$, suy ra $t = 2$. Do đó $P(3; 4; 2)$. Mặt phẳng đi qua $P(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b; c)$ có phương trình: a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 Trong trường hợp này, $\vec{n} = (1; 1; 1)$ và $P(3; 4; 2)$, vậy phương trình là: $1(x - 3) + 1(y - 4) + 1(z - 2) = 0$ x + y + z - 9 = 0$ **d) Góc giữa đường cáp và mặt phẳng (Oxy):** Góc $\alpha$ giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bởi công thức: sin(\alpha) = $\frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}$ Trong đó $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng và $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Vectơ chỉ phương của đường cáp là $\vec{u} = (1; 1; 1)$. sin(\alpha) = $\frac{|(1; 1; 1).(0; 0; 1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{3}.1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ Vậy $\alpha = arcsin(\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 35.26^\circ$ Vì không có đáp án cụ thể, câu trả lời chung chung là A.