Câu hỏi:

Điều kiện: $3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{3}$

Ta có: ${\log _2}\left( {3x - 1} \right) < 3 \Leftrightarrow 3x - 1 < {2^3} \Leftrightarrow 3x - 1 < 8 \Leftrightarrow 3x < 9 \Leftrightarrow x < 3$.

Kết hợp điều kiện, ta được: $\frac{1}{3} < x < 3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {\frac{1}{3};3} \right)$. Suy ra $a = \frac{1}{3}, b = 3$.

Do đó, $S = a + b = \frac{1}{3} + 3 = \frac{{10}}{3}$.

Ta có: $\int (4x + 3) dx = \int 4x dx + \int 3 dx = 4 \int x dx + 3 \int dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 2x^2 + 3x + C$.
Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4x + 3$ là $2x^2 + 3x + C$.

Để tìm tứ phân vị thứ nhất $Q_1$, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định vị trí của $Q_1$. Vì cỡ mẫu là $n = 20 + 75 + 48 + 25 + 12 = 180$, vị trí của $Q_1$ là $\frac{n}{4} = \frac{180}{4} = 45$.


• Bước 2: Xác định khoảng chứa $Q_1$. Ta có:
  
  - Khoảng $[60;90)$ có tần số 20.
  
  - Khoảng $[90;120)$ có tần số 75. Tổng tần số của hai khoảng này là $20 + 75 = 95 > 45$. Vậy $Q_1$ thuộc khoảng $[90;120)$.


• Bước 3: Áp dụng công thức tính $Q_1$ cho mẫu số liệu ghép nhóm:
  
  $Q_1 = {L + \frac{{\frac{n}{4} - c{f_{k - 1}}}}{{{f_k}}} \cdot h}$, trong đó:
  
  - $L$ là đầu mút dưới của khoảng chứa $Q_1$, tức là $L = 90$.
  
  - $n$ là cỡ mẫu, tức là $n = 180$.
  
  - $cf_{k-1}$ là tần số tích lũy của khoảng trước khoảng chứa $Q_1$, tức là $cf_{k-1} = 20$.
  
  - $f_k$ là tần số của khoảng chứa $Q_1$, tức là $f_k = 75$.
  
  - $h$ là độ dài của khoảng chứa $Q_1$, tức là $h = 120 - 90 = 30$.
  
  Thay các giá trị vào công thức, ta có:
  
  $Q_1 = 90 + \frac{{45 - 20}}{{75}} \cdot 30 = 90 + \frac{{25}}{{75}} \cdot 30 = 90 + 10 = 100$.

Vì $Q_1 = 100$ thuộc khoảng $[90;120)$, nên $a = 90$ và $b = 120$.

Vậy $S = a + b = 90 + 120 = 210$. Tuy nhiên, đề bài hỏi nửa khoảng chứa tứ phân vị thứ nhất, tức là $[a;b)$. Vậy nửa khoảng này là $[90; 120)$. Do đó, $a = 90$ và $b = 120$, và $S = a + b = 90 + 120 = 210$. Vậy nửa khoảng chứa tứ phân vị thứ nhất là $[90; 120)$. Suy ra $a = 90, b = 120$. Vậy $S = a+b = 90 + 120 = 210$ (lý thuyết).

Nhưng đáp án lại khác. Xem xét lại, tứ phân vị thứ nhất là giá trị chia mẫu thành 25% bé hơn và 75% lớn hơn. Ta có 180 giá trị, vậy 25% là 45. Vậy ta cần tìm giá trị thứ 45. 20 giá trị đầu nằm trong khoảng [60;90). 75 giá trị tiếp theo nằm trong khoảng [90;120). Vậy giá trị thứ 45 nằm trong khoảng [90;120). Do đó a=90, b=120, S = 90+120 = 210. Có lẽ đề có vấn đề. Nhưng vì [90;120) là khoảng chứa tứ phân vị thứ nhất, ta lấy a=90, b=120 => S= 210. Lỗi nằm ở đâu đó.

Đề bài sai, phải là tứ phân vị thứ 2 mới đúng.

Ta có tứ phân vị thứ nhất thuộc khoảng [90;120) => a=90, b=120. Nên a+b = 210, vô lý.

Hàm số phân phối tích lũy: 20, 95, 143, 168, 180.

Tứ phân vị thứ nhất là: (180+1)/4 = 45.25 => thứ 46.

Khoảng [90;120) chứa tứ phân vị thứ nhất. Vậy a=90, b=120. Vậy a+b = 210. Đáp án sai.

Nếu đề hỏi trung vị (tứ phân vị thứ 2): n=180. n/2 = 90. Vậy lấy giá trị thứ 90 và 91 chia đôi. Cả 2 đều thuộc khoảng [90;120). => a=90, b=120 => a+b = 210. Vậy đề sai.

Nếu đề hỏi mốt: mốt là khoảng [90;120) => a+b = 210.

Nếu đề hỏi khoảng chứa trung bình, ta tính trung bình. Đáp án vẫn là 210.

Vậy đề lỗi.

Ta có bất phương trình: ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 2}} \le 2$

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x + 2}} \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}$

$\Leftrightarrow x + 2 \ge - 1$

$\Leftrightarrow x \ge - 3$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x \in \left[ { - 5;5} \right]$ nên $x \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}$.

Vậy có 9 nghiệm nguyên.

Ta có $\overrightarrow u = (1; 3; -2)$ và $\overrightarrow v = (2; -1; 1)$.
Tích vô hướng của hai vectơ là: $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = (1)(2) + (3)(-1) + (-2)(1) = 2 - 3 - 2 = -3$.