Tìm hệ số của \(x^{4}\) trong khai triển \(P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{n}\) với \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{n}^{n-2}+6 n+5=A_{n+1}^{2}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Từ phương trình \(C_{n}^{n-2}+6 n+5=A_{n+1}^{2} \rightarrow n=10\).
Với \(n=10\), khi đó \(P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{n}=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{10}\).
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
\(P(x)=\left(1-x-3 x^{3}\right)^{10}=\left[1-\left(x+3 x^{3}\right)\right]^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}(-1)^{k}\left(x+3 x^{3}\right)^{k}\)
\(=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}(-1)^{k} x^{k}\left(1+3 x^{2}\right)^{k}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \sum_{l=0}^{k} C_{k}^{l}(-1)^{k} 3^{l} x^{k+2 l}\).
Số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển tương ứng với \(\left\{\begin{array}{l}k+2 l=4 \\ 0 \leq k \leq 10 \\ 0 \leq l \leq k\end{array} \Leftrightarrow(k ; l)=\{(4 ; 0),(2 ; 1)\}\right.\).
Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển là \(C_{10}^{4} C_{4}^{0}+C_{10}^{2} C_{2}^{1} 3=480\).
Câu hỏi liên quan
Tai người bình thường có thể tiếp nhận thông tin nào dưới đây?
Cơ sở của hình thức sinh sản ở sinh vật đơn bào và sinh sản vô tính ở sinh vật đa bào là quá trình gì?
Cho đoạn chương trình sau:
if d>0:
x1=-b-math.sqrt(d)/2*a
x1=-b+math.sqrt(d)/2*a
Lỗi sai trong đoạn chương trình trên là:
Read the following passage about urbanisation and mark the letter A, B, C, or D on your answer sheet to indicate the best answer to each of the following questions.
URBANISATION: A GROWING PHENOMENON
Urbanisation is the process through which cities grow, and higher populations begin to inhabit urban areas. This phenomenon has accelerated significantly over the past few decades due to various factors. One of the primary drivers is the search for better employment opportunities. In rural areas, job prospects are often limited to agriculture and small-scale industries, which might not provide sufficient income. Consequently, people migrate to cities seeking better livelihoods and living standards.
Additionally, urban areas offer more advanced educational facilities and healthcare services compared to rural regions. Many families move to cities to provide their children with higher-quality education and greater future opportunities. Access to hospitals and specialized medical services also attracts people to urban centers, especially in countries where rural healthcare is underdeveloped.
However, rapid urbanisation brings about several challenges. Overcrowding in cities can lead to inadequate housing, strained infrastructure, and increased pollution. The expansion of urban areas often results in the loss of green spaces and agricultural land, impacting food production and the environment. Governments and city planners must address these issues to ensure sustainable urban growth.
Despite these challenges, urbanisation has several positive aspects. Cities are often cultural melting pots, where diverse groups of people interact, leading to vibrant communities and innovation. The concentration of resources and talents in urban areas can drive economic growth and technological advancements.
The word advanced in paragraph 2 could be best replaced by ____.
Đâu là trào lưu nghệ thuật dân gian được hình thành ở Việt Nam từ thế kỉ XVI đến XVIII?
“Siêu quái vật” Megalodon sống ở thời tiền sử luôn được coi là một trong những sinh vật đáng sợ nhất mà thế giới từng biết đến. Những kết quả nghiên cứu trước đây cho thấy loài này có thể dài tới 20m. Tuy nhiên, giới khoa học chưa thể thống nhất về kích thước của Megalodon, do các nghiên cứu của họ chỉ dựa trên những hóa thạch ít ỏi có được từ cá mập này, đó là răng và đốt sống. Họ đoán rằng Megalodon chắc hẳn phải có hình dạng cơ thể khổng lồ như hậu duệ của chúng ở thời điểm hiện nay: loài cá mập trắng lớn. Trong báo cáo nghiên cứu đăng trên tạp chí Paleontologia Electronica ngày 22-1, một nhóm nhà khoa học quốc tế cho rằng Megalodon có thể giống với cá mập mako - một loài cá mập có thân hình mảnh khảnh.
Nhà cổ sinh vật học Kenshu Shimada thuộc Đại học DePaul ở Chicago (Mỹ) - đồng tác giả của nghiên cứu trên - cũng cho rằng Megalodon "có thể không phải là loài có khả năng bơi mạnh mẽ" nếu so với cá mập trắng lớn. Ngoài ra, nhu cầu săn mồi của Megalodon cũng có thể ít hơn, do chúng có hệ thống tiêu hóa dài hơn. Điều này cũng có thể ảnh hưởng đến bí ẩn về sự tuyệt chủng của Megalodon. Trước đây, các nhà khoa học đưa ra giả thuyết rằng loài cá mập này đã chết dần vì xung quanh có ít con mồi hơn. Tuy nhiên, những hình ảnh cập nhật về cơ thể của loài này lại chỉ ra một thủ phạm tiềm năng khác. “Tôi tin rằng có sự kết hợp của nhiều yếu tố dẫn đến sự tuyệt chủng, nhưng một trong số đó có thể là sự xuất hiện của loài cá mập trắng lớn, loài vật có thể di chuyển nhanh nhẹn hơn và trở thành kẻ săn mồi thậm chí còn giỏi hơn cả Megalodon”, ông Sternes cho biết.
(“Hé lộ bí mật mới về “siêu quái vật” Megalodon”, Thông tấn xã Việt Nam)
Vì sao các nhà khoa học chưa thể xác định được kích thước thật của Megalodon?
Read the following passage and mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the option that best fits each of the numbered blanks from 18 to 22.
The origins of popular foods often reveal surprising historical insights. (18)______. While many assume that curry was introduced to England through interactions with India in the 1600s, historical evidence suggests otherwise. Wealthy English families,(19)______, were consuming dishes prepared with curry spices as early as the time of King Richard I. Notably, the term “curry” appears in an English cookbook published in 1377, long before British ships traveled to India. This early mention highlights how food traditions can transcend borders and evolve over centuries, influenced by trade and exploration.
Similarly, pizza, a dish frequently associated with Italian cuisine, (20)______. While modern pizza originated in Naples, records indicate that in the 500s, Persians consumed round, flat bread topped with cheese. This precursor to the pizza we know today reflects the global interconnectedness of culinary traditions, where simple yet innovative recipes emerge in different cultures independently. (21)______.
The history of hamburgers also deviates from common perceptions. While widely regarded as an American culinary creation, (22)_______. According to historical accounts, Otto Kuasw created the first hamburger in 1891, and by 1895, German sailors had introduced the dish to the United States. This journey from Germany to the U.S. demonstrates how cultural exchanges shape iconic dishes.
Understanding the origins of these foods enhances appreciation of their cultural and historical significance. Regardless of their provenance, their enduring appeal lies in their taste, adaptability, and ability to bring people together across time and space.
Các câu sau đây, có bao nhiêu câu là mệnh đề?
(1) Ở đây đẹp quá!
(2) Phương trình \({x^2} - 3x + 1 = 0\) vô nghiệm.
(3) 16 không là số nguyên tố.
(4) Hai phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) và \({x^2} - \sqrt {x + 3} + 1 = 0\) có nghiệm chung.
(5) Số \(\pi \) có lớn hơn \(3\) hay không?
(6) Italia vô địch Worldcup 2006.
(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) khác \(\vec 0\). Xác định góc \(\alpha \) giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) biết \(\vec a.\vec b{\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|\).
Tính chất nào của nước là nền tảng của nhiều đặc tính lí – hóa, làm cho nước có vai trò quan trọng đối với sự sống?
Chọn ý đúng: Tài nguyên có thể khôi phục được bao gồm?
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
Một vật nặng rơi từ độ cao 20 m xuống mặt đất. Sau bao lâu vật chạm đất? Lấy g = 10 m/s2.
Phương trình \({\tan ^2}x = 3\) có nghiệm là?
Which of the following best restates each of the given sentence?
The boy was not intelligent enough to have solved such complex problems alone.
Nguyên tử nguyên tố M có số hiệu nguyên tử là 20. Electron cuối cùng của nguyên tử M điền vào lớp và phân lớp nào?
Thế nào là quá trình trao đổi chất?
Cho hình chóp \(S . A B C D\) trong đó \(A B C D\) là hình chữ nhật, \(S A \perp(A B C D)\). Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông?
Cách mạng tháng Hai (1917) đã giải quyết được nhiệm vụ gì ở Nga?
Ý nào đúng: Nguyên tắc “linh kiện có sẵn trên thị trường” là nguyên tắc thứ mấy trong thiết kế mạch điện tử?
