Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ \(\left( 42\times 42cm \right)\) bằng súng tiểu liên AK trong không gian \(Oxyz\). Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là \(100m\), trục \(d\) của nòng súng và cọc đỡ bia \(d'\) lần lượt có phương trình

\(d:\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=2 \\  & z=4 \\ \end{align} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{align}  & x=1 \\  & y=2 \\  & z=1+3t' \\ \end{align} \right.\).

Để bắn trúng hồng tâm ( điểm 10 ) thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm \(N\left( a;b;c \right)\in d'\) và cách giao điểm của \(d\) và \(d'\) một khoảng \(6cm\). Khi \(c<0\), giá trị biểu thức \(a-b+c\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=2-t  \\   y=1+2t  \\   z=3+t  \\\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), phương trình của đường thẳıg đi qua điểm \(M\left( 1;-3;5 \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec{u}\left( 2;-1;1 \right)\) là:

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian \(Oxyz\), cho \({{d}_{1}}:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{-3}\) và \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=2t \\  & y=-3-t \\  & z=0 \\ \end{align} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian \({Oxyz}\), cho đường thẳng \({d\colon \frac{x-4}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}}\) và mặt phẳng \({(P)\colon 3x-2y+z-6=0}\). Giá trị của \({\sin (d,(P))}\) bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(1; 2; 5), N(4; 1; 2). Phương trình chính tắc của đường thẳng qua hai điểm M, N là:

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác đều độ dài cạnh bằng \(6\sqrt{3}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A{A}'\) và \(BC\) bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M (1; -3; 5) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\)(2;-1;1) là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ \(O\left( 0;0;0 \right)\), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí \(A\left( 222;565;8 \right)\), chuyển động theo đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left( 91;75;0 \right)\) và hướng về đài kiểm soát không lưu. Tọa độ của vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là \(M\left( a;b;c \right)\). Khi đó \(a+b+c\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt ở điểm \(M\left( 1;2;-2 \right)\) và vật quan sát đặt ở điểm \(N\left( -2;0;2 \right)\). Một tấm bia chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\), bán kính bằng 4 và đặt trong mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\). Tọa độ điểm chắn tầm nhìn của người đó là \(D\left( a;b;c \right)\). Tính \(a.b+c\).

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí \(O\left( 0;0;0 \right)\) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc \(900\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}/\text{h}\) theo đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-1000+100t  \\   y=-300+80t  \\   z=100\sqrt{11}  \\\end{array}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( t\in \mathbb{R} \right) \right.\) và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong không gian \(Oxyz\). Tính \(\cos in\) của góc giữa hai đường thẳng có phương trình lần lượt là \({{d}_{1}}:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1},\) \({{d}_{2}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{9}.\)

Trong không gian \(Oxyz\). Tính \(\cos in\) của góc giữa hai đường thẳng có phương trình lần lượt là \({{d}_{1}}:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-1},\) \({{d}_{2}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{9}.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 3;\,-1;\,4 \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left( 2;\,-4;\,-5 \right)\). Phương trình của \(d\) là:

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của đường thẳng đi qua \(M\left( 1;2;1 \right)\) và \(N\left( 3;1;-2 \right)\) là:

Trong không gian \(\text{Ox}yz\), phương trình của đường thẳng đi qua \(A\left( -1;-1;1 \right)\) và có một một vectơ chỉ phương \(\vec{u}(1;2;3)\) là:

Hệ thống phòng không "Vòm sắt" là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Israel. Để "Vòm sắt" hoạt động được chính xác người ta trang bị một Radar có khả năng phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) một hệ thống "Vòm sắt" đang ở vị trí \(O\left( 0;0;0 \right)\) và một quả tên lửa đang ở vị trí \(A\left( 688;185;-8 \right)\) được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=\left( -91;-75;0 \right)\).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

Trong không gian \(Oxyz\), vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương cùa đường thằng \(\Delta :\frac{x-5}{8}=\frac{y-9}{6}=\frac{z-12}{3}\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align}  & x=1-2t \\  & y=-1 \\  & z=3+t \\ \end{align} \right.\).

Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \)?

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{2}\) và  mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-z+1=0\) là \({{n}^{0}}\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, n là số nguyên dương). Giá trị của n là bao nhiêu?

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+5}{-2}\) và 2 điểm \(A\left( -2;1;1 \right)\), \(B\left( -3;-1;2 \right)\).

Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) (với \(c>0\)) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) sao cho \(\Delta MAB\) có diện tích bằng \(3\sqrt{5}\). Khi đó, tổng a + b + c bằng bao nhiêu ?