Một mol khí helium chứa trong một xilanh đậy kín bởi một pit-tông (pit-tông có thể dịch chuyển không ma sát), khối khí thực hiện quá trình biến đổi trạng thái từ \((1) \rightarrow(2) \rightarrow(3)\) theo đồ thị hình bên. Biết rằng ở trạng thái (1), khối khí có thể tích \(10 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}\) và áp suất \(6.10^{5} \mathrm{~Pa}\). Ở trạng thái (2), khối khí có thể tích \(30 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}\) và áp suất \(2.10^{5} \mathrm{~Pa}\).

a) Nhiệt độ của khối khí ở trạng thái (1) xấp xỉ bằng 722 K .

b) Trong quá trình biến đổi trạng thái từ \((1) \rightarrow(2)\), nhiệt độ lớn nhất của khối khí xấp xỉ bằng 963 K .

c) Trong quá trình biến đổi trạng thái từ \((1) \rightarrow(2)\), tỉ số giữa động năng tịnh tiến trung bình (của nguyên tử khí helium) cực đại và cực tiểu là \(\frac{4}{3}\).

d) Công mà khối khí nhận được trong quá trình biến đổi trạng thái từ (2) \(\rightarrow\) (3) xấp xỉ 5933 J .

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

a) Nhiệt độ của khối khí ở trang thái (1):

Ta có: \(p_{1} \cdot V_{1}=n \cdot R \cdot T_{1} \Leftrightarrow T_{1}=\frac{p_{1} \cdot V_{1}}{n \cdot R}=\frac{6 \cdot 10^{5} \cdot 10 \cdot 10^{-3}}{1 \cdot 8,31}=\frac{2 \cdot 10^{5}}{277} \mathrm{~K} \approx 722 \mathrm{~K}\).

b) Trong quá trình biến đổi trạng thái từ (1) \(\rightarrow\) (2), mối liên hệ giữa \(p\) và \(V\) được xác định bởi biểu thức: \(p=a \cdot V+b\).

Tử đồ thị, ta có: \(\left\{\begin{array}{l}6.10^{5}=a \cdot 10 \cdot 10^{-3}+b\\ 2.10^{5}=a \cdot 30 \cdot 10^{-3}+b\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}a=-2.10^{7}\\ b=8.10^{5}\end{array} \Rightarrow p=-2.10^{7} \cdot V+8.10^{5}\right.\right.\)

\( \Leftrightarrow p \cdot V=-2 \cdot 10^{7} \cdot V^{2}+8.10^{5} . V \)

Mà: \(p \cdot V=n \cdot R \cdot T=1.8,31 . T\)

Suy ra: \(-2 \cdot 10^{7} \cdot V^{2}+8 \cdot 10^{5} \cdot V=8,31 \cdot T \Leftrightarrow T=\frac{-2.10^{7}}{8,31} \cdot V^{2}+\frac{8 \cdot 10^{5}}{8,31} \cdot V\)

\(T^{\prime}=\frac{-4 \cdot 10^{7}}{8,31} \cdot V+\frac{8 \cdot 10^{5}}{8,31}=0 \Leftrightarrow V=0,02 m^{3} \Rightarrow T_{\max }=\frac{-2 \cdot 10^{7}}{8,31} \cdot 0,02^{2}+\frac{8 \cdot 10^{5}}{8,31} \cdot 0,02=\frac{8 \cdot 10^{5}}{831} \mathrm{~K} \approx 963 \mathrm{~K}\).

c) Theo kết quả của câu b, ta có: \(T_{\max }=\frac{8 \cdot 10^{5}}{831} \mathrm{~K}\) và \(T=\frac{-2 \cdot 10^{7}}{8,31} \cdot V^{2}+\frac{8 \cdot 10^{5}}{8,31} \cdot \mathrm{~V}\)

Trong quá trình biến đổi trạng thái từ (1) \(\rightarrow(2), T_{\min }\) khi \(V=V_{1}\) hoăc \(V=V_{2}\)

\( \Rightarrow T_{\min }=T_{1}=T_{2}=\frac{2.10^{5}}{277} \mathrm{~K} . \)

Và tỉ số giữa động năng tịnh tiến trung bình (của nguyên tử khí helium) cực đại và cực tiểu là:

\( \frac{W_{\mathrm{d}_{\max }}}{W_{\mathrm{d}_{\min }}}=\frac{\frac{3}{2} k \cdot T_{\max }}{\frac{3}{2} k \cdot T_{\min }}=\frac{T_{\max }}{T_{\min }}=\frac{\frac{8.10^{5}}{831}}{\frac{2.10^{5}}{277}}=\frac{4}{3} \)

d) Điểm biểu diễn trạng thái (1) và (3) nằm trên đuờng thẳng đi qua gốc tọa độ nên mối liện hệ giữa p và \(V\) có dạng: \(p=a . V\)

Ở trạng thái (1), ta có: \(p_{1}=a \cdot V_{1} \Leftrightarrow 6 \cdot 10^{5}=a \cdot 10 \cdot 10^{-3} \Leftrightarrow a=6 \cdot 10^{7}\)

\(\Rightarrow p=6.10^{7} . \mathrm{V}\)

Ở trạng thái (3), ta có: \(p=6 \cdot 10^{7} . V \Leftrightarrow 2 \cdot 10^{5}=6 \cdot 10^{7} . V_{3} \Leftrightarrow V_{3}=\frac{10}{3} \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}\).

Công mà khối khí nhận được trong quá trình biến đổi trạng thái từ (2) \(\rightarrow\) (3) (nén đẳng áp) là:

\( A=p \cdot \Delta V=2 \cdot 10^{5} \cdot\left(30 \cdot 10^{-3}-\frac{10}{3} \cdot 10^{-3}\right) \approx 5333 \mathrm{~J} . \)