Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả cá hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 800 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 6000 con. Sức chứa của hồ được cho là 8000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lương cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số \(P\left( t \right)=\frac{c}{1+a{{b}^{-t}}}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (trong đó \(t\) tính theo năm kề từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ). Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị con/năm) của đàn cá (kểt quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả cá hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 800 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 6000 con. Sức chứa của hồ được cho là 8000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lương cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số \(P\left( t \right)=\frac{c}{1+a{{b}^{-t}}}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (trong đó \(t\) tính theo năm kề từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ).

Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị con/năm) của đàn cá (kểt quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời:

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Dựa vào dữ kiện đề bài, ta có:

+) \(P(0)=800\)\(\Leftrightarrow \frac{c}{1+a\cdot {{b}^{-0}}}=800\)\(\Leftrightarrow \frac{c}{1+a}=800\).

\(+)P(3)=6000\)\(\Leftrightarrow \frac{c}{1+a\cdot {{b}^{-3}}}=6000\).

\(+)\) Sức chứa của hồ là 8000 con\(\Leftrightarrow \underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,P(t)=8000\).

Khi \(t\to +\infty \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} b<1\Rightarrow {{b}^{-t}}\to +\infty (L) \\ b>1\Rightarrow {{b}^{-t}}\to 0(tm) \\ \end{array}\Rightarrow P(t)\to c \right.\).

Khi đó \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,P(t)=c=8000\).

Mà \(\frac{c}{1+a}=800\Leftrightarrow \frac{8000}{1+a}=800\)\(\Rightarrow a=9\).

Thay vào \(\frac{c}{1+a\cdot {{b}^{-3}}}=6000\), ta được:

\(\begin{array}{*{35}{l}} {} & \frac{8000}{1+9\cdot {{b}^{-3}}} & =6000 \\ \Leftrightarrow & 1+9\cdot {{b}^{-3}} & =\frac{4}{3} \\ \Leftrightarrow & {{b}^{-3}} & =\frac{1}{27} \\ \Leftrightarrow & b & =3. \\ \end{array}\)

Suy ra \(P(t)=\frac{8000}{1+{{9.3}^{-t}}}\).

Hàm số \({{P}^{\prime }}(t)\) là tốc độ tăng trưởng của đàn cá.

Suy ra tốc độ tăng trưởng tối đa của đàn cá \(={{P}^{\prime }}{{(t)}_{\max }}\).

\({{P}^{\prime }}(t)=-8000\cdot \frac{-9\cdot {{3}^{-t}}\cdot \ln 3}{{{\left( 1+{{9.3}^{-t}} \right)}^{2}}}\)\(=79100\cdot \frac{{{3}^{-t}}}{{{\left( 1+{{9.3}^{-t}} \right)}^{2}}}\).

Để tìm max của \({{P}^{\prime }}(t)\) ta có 2 cách sau:

\(+)\) Cách 1: Côsi:

Ta tìm max của \(g(t)=\frac{{{3}^{-t}}}{{{\left( 1+{{9.3}^{-t}} \right)}^{2}}}\).

Đặt \({{3}^{-t}}=a(a>0)\).

\(\Rightarrow g(t)=\frac{a}{{{(1+9a)}^{2}}}\)\(=\frac{a}{1+18a+81{{a}^{2}}}\)\(=\frac{1}{\frac{1}{a}+18+81a}\).

 Nhận xét: \(g{{(t)}_{\max }}\) khi \(\frac{1}{a}+18+81{{a}_{\min }}\).

Áp dụng cosi cho 2 số dương \(\frac{1}{a}\) và 81 a, ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}} {} & \frac{1}{\text{a}}+81\text{a} & \ge 2\sqrt{\frac{1}{\text{a}}.81\text{a}} \\ \Leftrightarrow & \frac{1}{\text{a}}+81\text{a} & \ge 2\sqrt{81}=18 \\ \Rightarrow & \frac{1}{\text{a}}+18+81\text{a} & \ge 18+18=36 \\ \Rightarrow & \frac{1}{\frac{1}{\text{a}}+18+81\text{a}} & \le \frac{1}{36}. \\ \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{a}=81a\)\(\Leftrightarrow 81{{a}^{2}}=1\Leftrightarrow a=\frac{1}{9}\).

Khi đó: \({{P}^{\prime }}{{(t)}_{\max }}=79100\cdot \frac{1}{36}\approx 2197\).

\(+)\) Cách 2: Lập bảng biến thiên.