Hình vẽ sau mô tả một con thuyền đang kéo một người đàn ông trượt ván bằng một đoạn dây dài 9 mét. Xét trên hệ trục \(Oxy\) (đơn vị trên các hệ trục bằng mét), ban đầu con thuyền đang ở gốc tọa độ và di chuyển trên tia \(Oy\), người đàn ông xuất phát từ điểm có tọa độ \(\left( 9;0 \right)\) bị kéo theo và quãng đường di chuyển tạo thành một đường cong \(y=f\left( x \right)\) (tham khảo hình vẽ bên), bờ biển là đường thẳng \(x+2y+1=0\). Khi người đàn ông đến gần bờ biển nhắt thì khoảng cách giữa người đàn ông và trục \(Oy\) bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần trăm)? Biết rằng trong quá trình di chuyển, người đàn ông luôn hướng về phía thuyền, đoạn dây luôn căng và nằm trên tiếp tuyến của đường cong \(y=f\left( x \right)\).

Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao \(150\left( \text{cm} \right)\) và thể tích chứa \(900\,\left( {{\text{m}}^{3}} \right)\). Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng/\({{\text{m}}^{2}}\) và làm mặt đáy là 4 triệu đồng/\({{\text{m}}^{2}}\). Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.

(Làm tròn theo đơn vị triệu đồng)

Từ một miếng bìa có độ dài hai cạnh lần lượt là \(0,9~\text{m}\) và \(1,5~\text{m}\) như hình bên dưới, bạn Duy cắt đi phần tô màu xám và gấp lại để được một hình hộp chữ nhật.

Gọi \(V\) là thể tích hình hộp chữ nhật được tạo thành. Tìm \(x~(m)\) để hình hộp tạo thành có thể tích lớn nhất.

Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ Oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau \(t\) giờ \((t\ge 0)\) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số \(y(t)=5-\frac{15t}{9{{t}^{2}}+1}.\)

Một hồ nước ở Bắc Ontario đã phục hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cả cá hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả 800 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng được ước tính là 6000 con. Sức chứa của hồ được cho là 8000 con. Để đánh giá khả năng tăng trưởng, người ta mô phỏng số lương cá trong hồ qua từng năm thông qua hàm số \(P\left( t \right)=\frac{c}{1+a{{b}^{-t}}}\left( a,b,c\in \mathbb{R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới (trong đó \(t\) tính theo năm kề từ lúc bắt đầu thả cá vào hồ).

Sử dụng mô hình trên, hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị con/năm) của đàn cá (kểt quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh họa bên dưới, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số:

\(y=\frac{1}{10}\left( -{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-15x+56 \right)\).

Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục là 100m (Nguồn: A. Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-I, Cor-nelsen 2016).

Trong công viên có một con đường chạy dọc theo bờ hồ có phương trình \(y=-1,5x+18\). Người ta dự định xây dựng trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Hoành độ của điểm để xây dựng bến thuyền này là bao nhiêu?

Một tháp nước hình nón lật ngược có bán kính đáy là 2m và chiều cao là 4m. Nếu bơm nước vào tháp cứ mỗi phút bơm được\(2{{m}^{3}}\), hãy tìm tốc độ mực nước đang dâng lên khi mực nước cao 3m.

Vào lúc 12 giờ trưa, tàu \(B\) đang nằm ở vị trí \(O\), tàu \(A\) cách tàu B \(12\text{km}\). Tàu A đang di chuyển về phía \(O\) với vận tốc \(12\text{km}/\text{h}\) và tiếp tục di chuyển như vậy cả ngày. Tàu B có vận tốc \(8\text{km}/\text{h}\) đang di chuyển theo hướng vuông góc với hướng đi của tàu \(A\) và tiếp tục di chuyển như vậy cả ngày. Quãng đường tàu A và tàu B di chuyển được sau \(t\) (giờ) (tính từ lúc 12 giờ trưa) lần lượt là \({{S}_{A}}\) và \({{S}_{B}}\).

Một hạt chuyển động trên một đường thẳng có gắn một trục toạ độ với gốc toạ độ là vị trí bắt đầu chuyển động. Toạ độ của hạt trên trục tại thời điểm \(t\) (đơn vị: giây) kể từ khi xuất phát được cho bởi công thức:

\(x\left( t \right)=2t-3\ln \left( t+1 \right)\) (đơn vị: mét), \(t\ge 0\).

Hàm số \(v\left( t \right)={x}'\left( t \right)\) (đơn vị: mét/giây) biểu thị vận tốc chuyển động của hạt.

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB=10\,\sqrt{2}\,\,(cm)\). Hình chữ nhật \(MNPQ\) có \(P,\,Q\) lần lượt thuộc cạnh \(AB,\,AC\) và \(M,\,N\) thuộc cạnh \(BC\). Quay hình chữ nhật \(MNPQ\) (và miền trong của nó) quanh trục đối xứng của tam giác \(ABC\) được một khối tròn xoay. Để thể tích khối tròn xoay lớn nhất khi đó độ dài đoạn \(PQ\) là bao nhiêu (cm) (làm tròn đến hàng phần chục).

Trong hình bên cho biết mộ hình trụ bán kính đáy \(r\left( cm \right)\), chiều cao \(h\left( cm \right)\) nội tiếp hình nóncó bán  kính đáy \(9\,cm\), chiều cao \(18\,cm\). Tìm giá trị của \(r\) để thể tích của hình trụ là lớn nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của \(cm\))

Một cửa hàng A kinh doanh mặt hàng điện tử. Năm 2025, cửa hàng đó chuẩn bị bán một loại tivi mẫu mới có giá có thể dao động từ 14,5-16 triệu đồng vẫn đảm bảo được doanh thu. Số lượng \(x\) chiếc tivi bán ra trong một tháng phụ thuộc vào giá bán \(p\) (triệu đồng/chiếc) theo công thức \(p=15-\frac{x}{2}\). Doanh thu cao nhất mà cửa hàng A có thể đạt được từ việc bán loại tivi trên là bao nhiêu triệu đồng?

Một vật được ném lên từ độ cao \(300m\) với vận tốc được cho bởi công thức:

\(v\left( t \right)=-9,81t+29,43\,\left( \text{m/s} \right)\).

(Nguồn: R.Larson anh Edwards, Calculus 10e, Cengage).

Gọi \(h\left( t \right)\,\left( \text{m} \right)\) là độ cao của vật so với mặt đất tại thời điểm \(t\left( \text{s} \right)\(tính từ lúc bắt đầu ném vật.

Giả sử cường độ ánh sáng của một nguồn điểm ti lệ thuận với cường độ của nguồn sáng đỏ và ti lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ điểm đỏ đến nguồn sáng. Hai nguồn điểm có cường độ lần lượt là \(S\) và \(8S\), cách nhau 90 cm. Xét một điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng nối hai nguồn, cường độ ánh sáng tại điềm đó nhỏ nhất thì điềm đó cách nguồn có cường độ \(S\) bằng bao nhiêu centimet? (cho biết cường độ sáng tại điểm \(M\) bằng tổng cường độ sáng mỗi nguồn tại điềm đó).

Một vật chuyển động theo quy luật \(s=s\left( t \right)=\frac{1}{3}{{t}^{3}}-\frac{3}{2}{{t}^{2}}+10t+2\) (với \(t\)(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\)(mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó). Tính quảng đường mà vật đi được khi vận tốc đạt \(20\,m/s\)

(Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).