Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số \(P\left( t \right)=\frac{a}{b+{{e}^{-\frac{3}{4}t}}}\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng giờ và \(a,b\in \mathbb{R}\). Tại thời điểm ban đầu \(t=0\), quần thể có \(20\) tế bào và tăng tốc với tốc độ \(12\) tế bào/giờ.

a) Độ tăng tốc của quần thể nấm men được tính theo hàm số \({P}'\left( t \right)=\frac{\frac{3}{4}a.{{e}^{-\frac{3}{4}t}}}{{{\left( b+{{e}^{-\frac{3}{4}t}} \right)}^{2}}}\).

b) \(P\left( 0 \right)=20\) và \({P}'\left( 0 \right)=12\).

c) Về lâu dài, lượng quần thể nấm men luôn tăng.

d) Về lâu dài, số lượng nấm men của quần thể sẽ vượt quá \(100\) tế bào.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

a) Đúng.

Ta có \(P\left( t \right)=\frac{a}{b+{{e}^{-\frac{3}{4}t}}}\).

\(\Rightarrow {P}'\left( t \right)=a.\left[ -\frac{{{\left( b+{{e}^{-\frac{3}{4}t}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( b+{{e}^{-\frac{3}{4}t}} \right)}^{2}}} \right]=-a.\frac{{{\left( -\frac{3}{4}t \right)}^{\prime }}.{{e}^{-\frac{3}{4}t}}}{{{\left( b+{{e}^{-\frac{3}{4}t}} \right)}^{2}}}=\frac{\frac{3}{4}a.{{e}^{-\frac{3}{4}t}}}{{{\left( b+{{e}^{-\frac{3}{4}t}} \right)}^{2}}}\).

Vậy độ tăng tốc của quần thể nấm men là:

\({P}'\left( t \right)=\frac{3}{4}a.{{e}^{-\frac{3}{4}t}}.\frac{1}{{{\left( b+{{e}^{-\frac{3}{4}t}} \right)}^{2}}}\).

b) Đúng.

Tại thời điểm ban đầu \(t=0\), quần thể có \(20\) tế bào nên \(P\left( 0 \right)=20\).

Quần thể nấm men tăng tốc với tốc độ \(12\) tế bào/giờ nên \({P}'\left( 0 \right)=12\).

c) Đúng.

Ta có \(P\left( 0 \right)=20\Rightarrow \frac{a}{b+1}=20\) và \({P}'\left( 0 \right)=12\Rightarrow \frac{3}{4}a.\frac{1}{{{\left( b+1 \right)}^{2}}}=12\).

Với \(\frac{a}{b+1}=20\Rightarrow b+1=\frac{a}{20}\), khi đó \(\frac{3}{4}a.\frac{1}{{{\left( b+1 \right)}^{2}}}=12\) được viết thành:

\(\frac{\frac{3}{4}a}{{{\left( \frac{a}{20} \right)}^{2}}}=12\Rightarrow \frac{3}{4}a=12{{\left( \frac{a}{20} \right)}^{2}}\Rightarrow \frac{3}{100}{{a}^{2}}-\frac{3}{4}a=0\Rightarrow \left[ \begin{align} & a=0\Rightarrow b=-1\,\,\,\,\left( l \right) \\ & a=25\Rightarrow b=\frac{1}{4}\,\,\,\left( n \right) \\ \end{align} \right.\)

Vậy \(a=25,b=\frac{1}{4}\).

\(\Rightarrow P\left( t \right)=\frac{25}{\frac{1}{4}+{{e}^{-\frac{3}{4}t}}}\Rightarrow {P}'\left( t \right)=\frac{75}{4}{{e}^{-\frac{3}{4}t}}.\frac{1}{{{\left( \frac{1}{4}+{{e}^{-\frac{3}{4}t}} \right)}^{2}}}>0,\forall t\ge 0\). (*)

Khi đó về lâu dài, lượng quần thể nấm men luôn tăng.

d) Sai.

Từ (*) ta có bảng biến thiên như sau:

Pasted image