Phương pháp giải
Đặt \(t=x^{2},(t \geq 0)\).
Để phương trình ẩn \(x\) vô nghiệm thì phương trình ẩn \(t\) vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm âm.
Lời giải
Đặt \(t=x^{2},(t \geq 0)\). Khi đó ta có phương trình: \((m-1) t^{2}+2(m-3) t+m+3=0\). (1)
Với \(m=1\) thì ( 1 ) \(\Leftrightarrow-4 t+4=0 \Leftrightarrow t=1 \Leftrightarrow x= \pm 1\) (Loại)
Với \(m \neq 1\) để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:
TH1: (1) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta^{\prime}<0 \Leftrightarrow-8 m+12<0 \Leftrightarrow m>\frac{3}{2}\).
TH2: (1) có 2 nghiệm âm
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime} \geq 0 \mathrm{t}_{1} \cdot \mathrm{t}_{2}>0 \mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-8 \mathrm{~m}+12 \geq 0 \frac{\mathrm{~m}+3}{\mathrm{~m}-1}>0 -\frac{2(\mathrm{~m}-3)}{\mathrm{m}+1}<0\end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m} \leq \frac{3}{2} \mathrm{~m} \in(-\infty ;-3) \cup(1 ;+\infty) \mathrm{m} \in(-\infty ; 1) \cup(3 ;+\infty)\end{array} \Leftrightarrow \mathrm{m} \in(-\infty ;-3)\right.\)
Kết hợp 2 trường hợp, ta được \(m \in(-\infty ;-3) \cup\left(\frac{3}{2} ;+\infty\right)\).