Do \(a, b\) là các số thực dương và \(\frac{1}{2} \log _{2} a=\log _{2} \frac{2}{b} \Leftrightarrow \log _{2} \sqrt{a}=\log _{2} \frac{2}{b} \Leftrightarrow a b^{2}=4\).
Đặt \(t=4 a^{3}+b^{3}=4 a^{3}+\frac{b^{3}}{2}+\frac{b^{3}}{2} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} b^{6}}=3 a b^{2}=12\).
Khi đó \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)=t-4 \log _{2} t=f(t)\).
Ta có \(f^{\prime}(t)=1-\frac{4}{t \ln 2}>0, \forall t \geq 12\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f(t)\) là \(f(12)=12-4 \log _{2} 12=12-4\left(2+\log _{2} 3\right)=4-4 \log _{2} 3\).
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)\) là \(4-4 \log _{2} 3\).
Từ đó ta có \(x=y=4, x=3\). Tổng \(x+y+z\) bằng 11.