PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá

sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất

sản phẩm

thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là

(nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là

(nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Gọi $L(x)$ là lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất $x$ sản phẩm (triệu đồng).
Ta có:

Doanh thu khi sản xuất $x$ sản phẩm là $(40x - \frac{x^2}{100})$ nghìn đồng, tức là $(40x - \frac{x^2}{100}) / 1000$ triệu đồng.
Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $x(4 + \frac{x}{300})$ nghìn đồng, tức là $x(4 + \frac{x}{300}) / 1000$ triệu đồng.

Vậy, $L(x) = \frac{40x - \frac{x^2}{100}}{1000} - \frac{x(4 + \frac{x}{300})}{1000} = \frac{40x - \frac{x^2}{100} - 4x - \frac{x^2}{300}}{1000} = \frac{36x - \frac{4x^2}{300}}{1000} = \frac{36x - \frac{x^2}{75}}{1000}$.
Ta cần tìm $x$ sao cho $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất và $0 \le x \le n$. $L'(x) = \frac{36 - \frac{2x}{75}}{1000}$. Cho $L'(x) = 0$ ta được $36 = \frac{2x}{75}$, suy ra $x = \frac{36 \cdot 75}{2} = 18 \cdot 75 = 1350$.
Theo đề bài, doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $n = 1200$ sản phẩm. Vậy, $0 \le x \le 1200$. Ta xét $L(0) = 0$, $L(1200) = \frac{36(1200) - \frac{1200^2}{75}}{1000} = \frac{43200 - \frac{1440000}{75}}{1000} = \frac{43200 - 19200}{1000} = \frac{24000}{1000} = 24$. Tuy nhiên, vì $x = 1350 > 1200$, ta cần xét $L(1200)$ là giá trị lớn nhất. $L(x) = \frac{36x - \frac{x^2}{75}}{1000}$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=1200$. $L(1200) = 24$ (triệu đồng).
Nhưng đề bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của lợi nhuận khi doanh nghiệp dự định sản xuất không quá $n = 300$ sản phẩm. Khi đó $0 \le x \le 300$, $L(300) = \frac{36 \cdot 300 - \frac{300^2}{75}}{1000} = \frac{10800 - \frac{90000}{75}}{1000} = \frac{10800 - 1200}{1000} = \frac{9600}{1000} = 9.6$. $L'(x) = \frac{36 - \frac{2x}{75}}{1000} = 0$ khi $x=1350$. Vì $x < 1350$ nên $L(x)$ tăng khi $x$ tăng. Vậy $L(x)$ lớn nhất khi $x=300$, và $L(300) = 9.6 \approx 10$. Với $n = 150$, $L(150) = \frac{36*150 - \frac{150^2}{75}}{1000} = \frac{5400 - 300}{1000} = 5.1$. Với $n = 300$, Lợi nhuận là: $L(300) = \frac{36*300 - (300^2)/75}{1000} = \frac{10800-1200}{1000} = 9.6$. Khi làm tròn, lợi nhuận lớn nhất là 10 triệu. Với $n = 1200$, $L(1200) = \frac{36(1200) - \frac{1200^2}{75}}{1000} = \frac{43200-19200}{1000} = 24$, Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm = 4 + x/300, x = 1200, chi phí này là 8. Theo đề, $n = 300$ sản phẩm. Doanh thu là: $40x - x^2/100 = 12000 - 90000/100 = 12000 - 900 = 11100$ nghìn đồng. Chi phí là: $x*(4+x/300) = 300*(4+300/300) = 300*5 = 1500$ nghìn đồng. Lợi nhuận là: $11100 - 1500 = 9600$ nghìn đồng = 9.6 triệu đồng. Nếu $n=150$ sản phẩm Doanh thu = $40*150 - 150^2/100 = 6000 - 225 = 5775$ Chi phí = $150 * (4 + 150/300) = 150 * 4.5 = 675$ Lợi nhuận = $5775 - 675 = 5100 = 5.1 triệu đồng.