Cho hai số thực dương \(a, b\) thỏa mãn \(\frac{1}{2} \log _{2} a=\log _{2} \frac{2}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)\) được viết dưới dạng \(x-y \log _{2} z\), với \(x, y, z>2\) là các số nguyên, \(z\) là số lẻ. Tổng \(x+y+z\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Do \(a, b\) là các số thực dương và \(\frac{1}{2} \log _{2} a=\log _{2} \frac{2}{b} \Leftrightarrow \log _{2} \sqrt{a}=\log _{2} \frac{2}{b} \Leftrightarrow a b^{2}=4\).
Đặt \(t=4 a^{3}+b^{3}=4 a^{3}+\frac{b^{3}}{2}+\frac{b^{3}}{2} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} b^{6}}=3 a b^{2}=12\).
Khi đó \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)=t-4 \log _{2} t=f(t)\).
Ta có \(f^{\prime}(t)=1-\frac{4}{t \ln 2}>0, \forall t \geq 12\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f(t)\) là \(f(12)=12-4 \log _{2} 12=12-4\left(2+\log _{2} 3\right)=4-4 \log _{2} 3\).
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)\) là \(4-4 \log _{2} 3\).
Từ đó ta có \(x=y=4, x=3\). Tổng \(x+y+z\) bằng 11.
Câu hỏi liên quan
Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với biên độ 20mm, tần số 2Hz. Tại thời điểm \(t = 0s\) vật đi qua vị trí có li độ 1cm theo chiều âm. Phương trình dao động của vật là:
Cuộc cách mạng khoa học nghệ hiện đại làm xuất hiện nhiều ngành mới chủ yếu trong lĩnh vực nào?
Trước Chiến tranh thế giới thứ hai, các nước Đông Nam Á đều là thuộc địa của thực dân Âu - Mĩ, ngoại trừ.
Đâu là ý đúng: Đáp án nào không phải là đặc trưng cơ bản của quần thể?
Kết quả của đoạn chương trình sau?
s = 0
for i in range(1, 10):
s = s + i
print(s)
CHỦ ĐỀ: NGƯỜI Ở BẾN SÔNG CHÂU
(Tham khảo bài văn của chủ đề trong đường link dưới đây ở trang 21)
https://tvsthpt.dlib.vn/app/doc-sach-ebook/d02db18272fe
Và trả lời câu hỏi sau:
Câu chuyện đã diễn ra trong những không gian nào?
Chọn các đáp án đúng:
Hệ quả tiêu cực của toàn cầu hoá kinh tế là gì?
Hiện tượng sấm sét thường xuất hiện trong các cơn giông. Cơn giông được hình thành khi có khối không khí nóng ẩm chuyển động thẳng, có thể kéo dài từ 30 phút đến 12 giờ, trải rộng từ hàng chục đến hàng trăm kilomet. Trên Trái Đất, mỗi năm có khoảng 45 000 cơn giông, và mỗi giây có tới 100 tia chớp do sự phóng điện giữa các đám mây và sự phóng điện giữa các đám mây với mặt đất. Hiện tượng mưa giông ở nước ta có thể xảy ra quanh năm. Vào mùa hè, do thời tiết nóng ẩm nên giông xảy ra thường xuyên hơn vào buổi chiều hoặc buổi chiều tối. Đặc biệt trên các vùng núi hay sông hồ trong những tháng nóng ẩm, giông có thể xuất hiện nhiều và bất thường rất nguy hiểm cho tính mạng con người.
Một người nghe thấy tiếng sét sau tia chớp 5 giây. Hỏi người đó đứng cách nơi xảy ra sét bao xa? Biết vận tốc truyền âm trong không khí là 340m/s.Hình chiếu trục đo có mấy thông số cơ bản?
Cho hai mệnh đề P: “x chia hết cho 9” và Q: “x chia hết cho 3”.
Phát biểu mệnh đề P kéo theo Q nào dưới đây là sai?
RAM là gì?
Đặc trưng nào sau đây không đúng với các nước có cơ cấu dân số trẻ?
Cho các tập hợp \({{C}_{\mathbb{R}}}A=\left[ -3;\sqrt{8} \right)\), \({{C}_{\mathbb{R}}}B=\left( -5;2 \right)\cup \left( \sqrt{3};\sqrt{11} \right).\)
Miền Tây Trung Quốc hình thành các vùng hoang mạc và bán hoang mạc rộng lớn do đâu?
Như em đã biết một bít nhận một trong hai giá trị tương ứng với hai kí hiệu 0 và 1. Như vậy, dùng một bít ta có thể biểu diễn trạng thái của một bóng đèn: đèn tắt là 0, đèn sáng là 1. Nếu có 4 bóng đèn để cạnh nhau hai bóng đèn đều sáng, hai bóng đèn sau tắt thì dãy nhị phân được biểu diễn trong máy tính là?
Câu nào sử dụng phép so sánh chuỗi?
Người lái xe ô tô hãm phanh để xe giảm tốc độ từ 23 m/s đến 11 m/s trong 20 s. Độ lớn của gia tốc.
Mark the letter A, B, C or D on your answer sheet to indicate the best arrangement of utterances or sentences to make a meaningful exchange or text in each of the following questions from 13 to 17.
a. Alice: How about the park by the lake?
b. Ben: That sounds great! Where should we go?
c. Alice: Hey, do you want to go for a picnic this weekend?
"Anh V có năng lực lập kế hoạch kinh doanh, và biết tổ chức nguồn lực, phối hợp công việc nhịp nhàng để đội ngũ nhân lực phát huy hết tất cả hiệu quả, tính sáng tạo trong kinh doanh".
Theo em, nhận định trên nói về năng lực nào của anh V?
Bảng dưới đây cho biết các thông số vật lí của một số đơn chất halogen ở điều kiện áp suất thường:
Phương án nào dưới đây là đúng?