JavaScript is required

Câu hỏi:

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1;\,2;\,5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 6 = 0\).

a) Vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).

b) Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là\(x + 2y + 2z + 15 = 0\).

c) Phương trình mặt phẳng \(\left( \gamma \right)\) đi qua hai điểm \(O\) và \(A\) đồng thời vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(2x - y = 0\).

d) Điểm \(M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right) \in \left( \alpha \right)\) sao cho \(A,O,M\) thẳng hàng. Khi đó \(5a + 10b + c = 12\).

Trả lời:

Đáp án đúng:


a) $\overrightarrow{n} = (1; 2; 2)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha): x + 2y + 2z - 6 = 0$. Vậy câu a đúng.

b) Mặt phẳng $(\beta)$ đi qua $A(1; 2; 5)$ và song song với $(\alpha)$ có phương trình: $1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-5) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 1 - 4 - 10 = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 15 = 0$. Vậy câu b sai.

c) Mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $O(0; 0; 0)$ và $A(1; 2; 5)$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{OA} = (1; 2; 5)$. Vector pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; 2; 2)$. Vector pháp tuyến của $(\gamma)$ là $\overrightarrow{n_{\gamma}} = [\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{n_{\alpha}}] = (4 - 10; 5 - 2; 2 - 2) = (-6; 3; 0)$. Phương trình $(\gamma)$ có dạng $-6x + 3y = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0$. Vậy câu c đúng.

d) $M(a; b; c) \in (\alpha)$ nên $a + 2b + 2c - 6 = 0$. $A, O, M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} \Leftrightarrow (a; b; c) = k(1; 2; 5) \Leftrightarrow a = k, b = 2k, c = 5k$. Thay vào phương trình $(\alpha)$, ta có $k + 4k + 10k - 6 = 0 \Leftrightarrow 15k = 6 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}$. Vậy $a = \frac{2}{5}, b = \frac{4}{5}, c = 2$. Khi đó $5a + 10b + c = 5(\frac{2}{5}) + 10(\frac{4}{5}) + 2 = 2 + 8 + 2 = 12$. Vậy câu d đúng.

Chỉ có câu a chắc chắn đúng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Đề 2

10/09/2025
0 lượt thi
0 / 22
Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 1 + t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

a) Điểm \(M\left( { - 2;2; - 1} \right)\) nằm trên đường thẳng \({d_2}\)

b) Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)vuông góc với nhau.

c) Côsin của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) bằng \( - \frac{5}{{14}}\)

d) Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.

Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
  • Đường thẳng $d_1$ có vector chỉ phương $\vec{u_1} = (-1, 2, 3)$.

  • Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương $\vec{u_2} = (-2, 1, -3)$.

Khi đó, $\vec{u_1} . \vec{u_2} = (-1)(-2) + (2)(1) + (3)(-3) = 2 + 2 - 9 = -5$.
$\left| {\vec {{u_1}}} \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {1 + 4 + 9} = \sqrt {14} $.
$\left| {\vec {{u_2}}} \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 9} = \sqrt {14} $.
Do đó, cos(góc giữa $d_1$ và $d_2$) = $\frac{{\left| {\vec {{u_1}}.\vec {{u_2}}} \right|}}{{\left| {\vec {{u_1}}} \right|.\left| {\vec {{u_2}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {14} }} = \frac{5}{{14}}$.
Vậy, khẳng định c sai. Đáp án là 2.
Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian cho bốn điểm \(A,B,C,D\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} + x\overrightarrow {OD} \) với \(O\) là một điểm bất kì. Ta xác định được \(x\) để bốn điểm \(A,B,C,D\) đồng phẳng là \(x = \frac{m}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, khi đó \(n - m\) bằng bao nhiêu?

Lời giải:
Đáp án đúng:
Để bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng thì ta phải có: $\overrightarrow{OA} = a\overrightarrow{OB} + b\overrightarrow{OC} + c\overrightarrow{OD}$ và $a+b+c=1$.
Từ $\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} + x\overrightarrow {OD}$ suy ra $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + x = 1$
$\Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{6 - 3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
Vậy $x = \frac{1}{6}$, suy ra $m=1, n=6$. Do đó $n - m = 6 - 1 = 5$.
Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba điểm \[A\left( {1;1;1} \right)\], \[B\left( { - 2;1;0} \right)\] và \[C\left( {2; - 3;1} \right)\]. Điểm \(S\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)\) sao cho \(P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức \(T = a - 5b + 5c\)

Lời giải:
Đáp án đúng:
Vì $S \in (Oyz)$ nên $S(0;b;c)$. Ta có:
  • $SA^2 = (1-0)^2 + (1-b)^2 + (1-c)^2 = 1 + 1 - 2b + b^2 + 1 - 2c + c^2 = b^2 + c^2 - 2b - 2c + 3$

  • $SB^2 = (-2-0)^2 + (1-b)^2 + (0-c)^2 = 4 + 1 - 2b + b^2 + c^2 = b^2 + c^2 - 2b + 5$

  • $SC^2 = (2-0)^2 + (-3-b)^2 + (1-c)^2 = 4 + 9 + 6b + b^2 + 1 - 2c + c^2 = b^2 + c^2 + 6b - 2c + 14$

Khi đó: $P = SA^2 + SB^2 + 3SC^2 = b^2 + c^2 - 2b - 2c + 3 + b^2 + c^2 - 2b + 5 + 3(b^2 + c^2 + 6b - 2c + 14) = 5b^2 + 5c^2 + 14b - 8c + 50 = 5(b^2 + \frac{14}{5}b) + 5(c^2 - \frac{8}{5}c) + 50 = 5(b^2 + 2.\frac{7}{5}b + \frac{49}{25}) - \frac{49}{5} + 5(c^2 - 2.\frac{4}{5}c + \frac{16}{25}) - \frac{16}{5} + 50 = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + \frac{189}{5} \ge \frac{189}{5}$

$P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $b = -\frac{7}{5}$ và $c = \frac{4}{5}$. Suy ra $S(0; -\frac{7}{5}; \frac{4}{5})$.

Vậy $T = a - 5b + 5c = 0 - 5(-\frac{7}{5}) + 5(\frac{4}{5}) = 7 + 4 = 11$. Kiểm tra lại tính toán, thấy có lỗi sai, sửa lại như sau:

$P = 5b^2 + 5c^2 + 14b - 8c + 50 = 5(b^2 + \frac{14}{5}b + (\frac{7}{5})^2) + 5(c^2 - \frac{8}{5}c + (\frac{4}{5})^2) + 50 - 5(\frac{49}{25}) - 5(\frac{16}{25}) = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + 50 - \frac{49}{5} - \frac{16}{5} = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + 50 - \frac{65}{5} = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + 50 - 13 = 5(b + \frac{7}{5})^2 + 5(c - \frac{4}{5})^2 + 37$

Vậy $b = -\frac{7}{5}, c = \frac{4}{5}$ nên $T = 0 - 5(-\frac{7}{5}) + 5(\frac{4}{5}) = 7 + 4 = 11$ . Vẫn không có đáp án đúng!

Xem lại đề bài: $P = SA^2 + SB^2 + 3SC^2$. Vậy tính lại:

$P = b^2 + c^2 - 2b - 2c + 3 + b^2 + c^2 - 2b + 5 + 3(b^2 + c^2 + 6b - 2c + 14) = 5b^2 + 5c^2 + 14b - 8c + 50$

$5b^2 + 14b + 5c^2 - 8c + 50 = 5(b^2 + \frac{14}{5}b + \frac{49}{25}) + 5(c^2 - \frac{8}{5}c + \frac{16}{25}) + 50 - \frac{49}{5} - \frac{16}{5} = 5(b+\frac{7}{5})^2 + 5(c-\frac{4}{5})^2 + 37$

$b = -\frac{7}{5}; c = \frac{4}{5}$

$T = a - 5b + 5c = 0 - 5(-\frac{7}{5}) + 5(\frac{4}{5}) = 7 + 4 = 11$ . Vẫn không có đáp án!

Nếu đề là $P = SA^2 + SB^2 + SC^2$ thì sao? Khi đó:

$P = b^2 + c^2 - 2b - 2c + 3 + b^2 + c^2 - 2b + 5 + b^2 + c^2 + 6b - 2c + 14 = 3b^2 + 3c^2 + 2b - 4c + 22$

$3(b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9}) + 3(c^2 - \frac{4}{3}c + \frac{4}{9}) + 22 - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = 3(b+\frac{1}{3})^2 + 3(c-\frac{2}{3})^2 + 22 - \frac{5}{3} = 3(b+\frac{1}{3})^2 + 3(c-\frac{2}{3})^2 + \frac{61}{3}$

Vậy $b = -\frac{1}{3}; c = \frac{2}{3}$ nên $T = 0 - 5(-\frac{1}{3}) + 5(\frac{2}{3}) = \frac{5}{3} + \frac{10}{3} = \frac{15}{3} = 5$.
Câu 19:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;\;2;\;0} \right),\;B\left( {1;\;1;\;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 3z - 5 = 0\)Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua hai điểm \(A,\;B\) và vuông góc \(\left( P \right)\) có phương trình là \(2x - ay - bz + c = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(a + 2b + 3c\)

Lời giải:
Đáp án đúng:
Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0; - 2} \right),\,\,B\left( {3;2;2} \right)\). Tập hợp điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thay đổi thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 10\) nằm trên mặt cầu bán kính \(R\). Tìm bán kính \(R\)

Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có $\overrightarrow{MA} = (1-x; -y; -2-z)$ và $\overrightarrow{MB} = (3-x; 2-y; 2-z)$.

Suy ra $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (1-x)(3-x) + (-y)(2-y) + (-2-z)(2-z) = 10$.

$\Leftrightarrow 3 - x - 3x + x^2 - 2y + y^2 - 4 - 2z - 2z - z^2 = 10$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x + y^2 - 2y + z^2 + 4z - 1 = 10$

$\Leftrightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 + z^2 + 4z + 4 = 10 + 4 + 1 + 4$

$\Leftrightarrow (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 19$.

Vậy tập hợp điểm $M$ là mặt cầu tâm $I(2; 1; -2)$ và bán kính $R = \sqrt{19}$.

Tuy nhiên, các đáp án không có $\sqrt{19}$. Ta xem lại đề bài.

$\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 10
\Leftrightarrow (x-1)(x-3) + y(y-2) + (z+2)(z-2) = 10$
$\Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 + y^2 - 2y + z^2 - 4 = 10$
$\Leftrightarrow x^2 - 4x + y^2 - 2y + z^2 = 11$
$\Leftrightarrow (x-2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 11 + 4 + 1 = 16$
Vậy $R = \sqrt{16} = 4$. Đáp án vẫn không có.

Nếu đề là $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -10$, ta có:

$\Leftrightarrow x^2 - 4x + y^2 - 2y + z^2 = -13$
$\Leftrightarrow (x-2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = -13 + 4 + 1 = -8$ (Vô lý)

Nếu $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ thì $(x-2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 5 + 4 + 1 = 6$ => $R = \sqrt{6}$.

Kiểm tra lại đề bài $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 10$\Rightarrow $(1-x)(3-x) + (0-y)(2-y) + (-2-z)(2-z) = 10 $\Rightarrow $3 - 4x + x^2 - 2y + y^2 -4 -4z - z^2 = 10 $\Rightarrow $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y -4z -1 = 10 $\Rightarrow $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y -4z = 11 $\Rightarrow $(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 11 + 4 + 1 + 4 = 20 $=> R = $\sqrt{20}$
Nếu $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ thì tính ra R = $\sqrt{6}$
Tính $\overrightarrow{AB} = (2,2,4)$ => AB = $\sqrt{4+4+16} = \sqrt{24}$=> R = $\sqrt{6}$
Gọi I là trung điểm AB => I(2,1,0) => IA = $\sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$
Nếu tập hợp M là mặt cầu đường kính AB thì có R = $\sqrt{6}$.
Nếu $\overrightarrow {MA} . \overrightarrow {MB} = 0$, thì tập hợp M là mặt cầu đường kính AB và R = $\frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6}$
Nếu $\overrightarrow {MA} . \overrightarrow {MB} = 10$ thì:
$(x-1)(x-3) + (y-0)(y-2) + (z+2)(z-2) = 10 $\Rightarrow $x^2 -4x + 3 + y^2 - 2y + z^2 - 4 = 10 $\Rightarrow $x^2 -4x + y^2 - 2y + z^2 = 11 $\Rightarrow $(x-2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 11 + 4 + 1 = 16 $\Rightarrow R = 4.
Không có đáp án đúng.
Câu 21:

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {1\,; - 1\,;\,2} \right)\), đường thẳng \(d:\,\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2{\rm{z}} + 5 = 0\). Xét đường thẳng \(\Delta \) cắt \(d\) và \(\left( P \right)\) tại lần lượt hai điểm \(M,{\rm{ }}N\) sao cho \(A\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MN\). Biết vectơ \(\overrightarrow u \, = \left( {1\,;\,a\,;\,b} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \). Tính giá trị của biểu thức \(4a + b\)

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 22:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình lập phương \(OBCD.O'B'C'D'\) có cạnh bằng \(9\) sao cho điểm \(D\) thuộc tia \[Ox\], điểm \(B\) thuộc tia \(Oy\) và điểm \(O'\) thuộc tia \(Oz\). Điểm \(M\) thuộc cạnh \(O'B'\) sao cho \(O'B' = 3O'M\). Một con kiến bò từ vị trí \(M\) qua sáu mặt của hình lập phương đã cho rồi quay lại vị trí điểm \(M\) sao cho quãng đường đi được của con kiến là ngắn nhất. Hỏi với cách bò như vậy, con kiến đã bò qua bao nhiêu điểm mà điểm đó có hoành độ, tung độ và cao độ là các số nguyên dương?

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 1:

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1\,; - 1\,;2} \right)\), \(B\left( {2\,;0\,;1} \right)\), \(C\left( {0\,; - 1\,;3} \right)\). Giá trị của \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) bằng

Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 4t\\z = 2 + t\end{array} \right.\;\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ phương?
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 3:
Trong không gian với hệ toạ độ \[Oxyz\], khoảng cách từ điểm \[A\left( {3; - 2;4} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\] bằng
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Giáo Án Word & PPT Tiếng Anh 12 ILSW

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026

177 tài liệu315 lượt tải
Giáo Án Word & PPT Tiếng Anh 12 Global Success

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026

107 tài liệu758 lượt tải
Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 KNTT

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026

111 tài liệu1058 lượt tải
Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 CTST

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026

111 tài liệu558 lượt tải
Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 KNTT

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026

111 tài liệu782 lượt tải
Giáo Án Word & PowerPoint Địa Lí 12 CTST

Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Địa Lí 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026

111 tài liệu0 lượt tải