Câu hỏi:

Gọi tọa độ các điểm như sau: $O(0;0;0), D(9;0;0), B(0;9;0), O'(0;0;9)$.
Vì $O'B' = 3O'M$ nên $\vec{O'M} = \frac{1}{3}\vec{O'B'}$. Suy ra $M(\frac{1}{3}x_{B'}; \frac{1}{3}y_{B'}; z_{O'})= (0; 6; 9)$.
Để quãng đường đi được là ngắn nhất, con kiến phải bò trên đường thẳng.
Ta trải hình lập phương và vẽ đường thẳng đi từ $M$ đến $M'$ (ảnh của $M$ qua phép trải).
Số điểm mà con kiến bò qua có tọa độ nguyên dương là số điểm mà đường thẳng $MM'$ cắt các cạnh của các hình vuông đơn vị.
Ta có $M(0;6;9)$ và $M'(18; -6; -9)$.
Phương trình đường thẳng $MM'$ là:
$\begin{cases}x = 0 + 18t \\ y = 6 - 12t \\ z = 9 - 18t \end{cases}$
Ta cần tìm số giá trị của $t$ sao cho $x, y, z$ là các số nguyên dương.
$\begin{cases}0 < 18t < 9 \\ 0 < 6 - 12t < 9 \\ 0 < 9 - 18t < 9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}0 < t < \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{4} < t < \frac{1}{2} \\ 0 < t < \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow 0 < t < \frac{1}{2}$
Xét $x = 18t$ nguyên dương $\Rightarrow t = \frac{k}{18}$ với $k \in \mathbb{Z}^+$.
Do $0 < t < \frac{1}{2}$ nên $0 < \frac{k}{18} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < k < 9$. Vậy có 8 giá trị của $x$ thỏa mãn.
Xét $y = 6 - 12t$ nguyên dương $\Rightarrow t = \frac{6-l}{12}$ với $l \in \mathbb{Z}^+$.
Do $0 < t < \frac{1}{2}$ nên $0 < \frac{6-l}{12} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < 6-l < 6 \Rightarrow 0 < l < 6$. Vậy có 5 giá trị của $y$ thỏa mãn.
Xét $z = 9 - 18t$ nguyên dương $\Rightarrow t = \frac{9-m}{18}$ với $m \in \mathbb{Z}^+$.
Do $0 < t < \frac{1}{2}$ nên $0 < \frac{9-m}{18} < \frac{1}{2} \Rightarrow 0 < 9-m < 9 \Rightarrow 0 < m < 9$. Vậy có 8 giá trị của $z$ thỏa mãn.
Số điểm cần tìm là $8 + 5 + 8 - 5 - 3 - 2 + 0 = 11$.

Ta có:
$\overrightarrow{AB} = (2-1; 0-(-1); 1-2) = (1; 1; -1)$
$\overrightarrow{AC} = (0-1; -1-(-1); 3-2) = (-1; 0; 1)$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1*(-1) + 1*0 + (-1)*1 = -1 + 0 - 1 = -2$
Vậy đáp án là C.

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 4t\\z = 2 + t\end{array} \right.$, vậy vecto chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u} = (2;-4;1)$.
Vecto $ -\overrightarrow{u} = (-2; 4; -1)$ cũng là vecto chỉ phương của $d$.

Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y = 0$.
Khoảng cách từ điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ là $|y_0|$.
Trong trường hợp này, $A(3; -2; 4)$ và $y_0 = -2$.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến $(Oxz)$ là $|-2| = 2$.

Phương trình mặt cầu có dạng: $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$.
Tâm $I(-a, -b, -c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Từ phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2z - 7 = 0$, ta có: $a = -1, b = 0, c = 1, d = -7$.
Vậy bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 - (-7)} = \sqrt{1 + 0 + 1 + 7} = \sqrt{9} = 3$.