Câu hỏi:

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 4t\\z = 2 + t\end{array} \right.$, vậy vecto chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow{u} = (2;-4;1)$.
Vecto $ -\overrightarrow{u} = (-2; 4; -1)$ cũng là vecto chỉ phương của $d$.

Mặt phẳng $(Oxz)$ có phương trình $y = 0$.
Khoảng cách từ điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ là $|y_0|$.
Trong trường hợp này, $A(3; -2; 4)$ và $y_0 = -2$.
Vậy khoảng cách từ $A$ đến $(Oxz)$ là $|-2| = 2$.

Phương trình mặt cầu có dạng: $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$.
Tâm $I(-a, -b, -c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 - d}$.
Từ phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2z - 7 = 0$, ta có: $a = -1, b = 0, c = 1, d = -7$.
Vậy bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2 - (-7)} = \sqrt{1 + 0 + 1 + 7} = \sqrt{9} = 3$.

Điểm $M'$ là hình chiếu của $M(1;3;-2)$ trên trục $Oz$ nên $M'(0;0;-2)$.
Suy ra $\overrightarrow{MM'} = (0-1;0-3;-2-(-2)) = (-1;-3;0)$.

Từ phương trình tham số của đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3 + t\end{array} \right.$, ta có:

• Điểm mà đường thẳng đi qua là $M(1; 2; -3)$.
• Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{u} = (2; -1; 1)$.

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ là: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}$.