Câu hỏi trắc nghiệm hình học không gian Oxyz

Câu 16:

Khi điều tra sức khỏe nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, số người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu đường là trong những người không bị bệnh tiểu đường là Chọn ngẫu nhiên 1 người cao tuổi để kiểm tra sức khỏe.

a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4

b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường, là 0,7

c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,75

d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $D$ là biến cố người được chọn bị tiểu đường, $H$ là biến cố người được chọn bị huyết áp cao. Theo đề bài, ta có:
- $P(D) = 0.4$ (Xác suất người được chọn bị tiểu đường)
- $P(H|D) = 0.7$ (Xác suất người bị huyết áp cao khi biết người đó bị tiểu đường)
- $P(H|\overline{D}) = 0.25$ (Xác suất người bị huyết áp cao khi biết người đó không bị tiểu đường)

Vậy:
- Đáp án a: $P(D) = 0.4$. Câu này đúng.
- Đáp án b: $P(H|D) = 0.7$. Câu này đúng.
- Đáp án c: $P(H|\overline{D}) = 0.25$. Câu này đúng.
- Đáp án d: $P(H) = P(H|D)P(D) + P(H|\overline{D})P(\overline{D}) = 0.7 * 0.4 + 0.25 * 0.6 = 0.28 + 0.15 = 0.43$. Câu này sai.

Đáp án đúng là 2 (Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường, là 0,25)

Câu 17:

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Cho hình lăng trụ đều

. Biết khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

bằng

, góc giữa hai mặt phẳng

và

bằng

với

. Thể tích khối lăng trụ

bằng

. Tính

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $H$ là hình chiếu của $A'$ lên $BC$. Vì lăng trụ là lăng trụ đều nên $AA'\perp (ABC)$, suy ra $(A'BC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{A'HA}=60^\circ$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, suy ra $AM \perp BC$. Do đó $BC \perp (A'AM)$, suy ra $d(A, (A'BC)) = d(M, (A'BC))$.

Trong tam giác $A'AM$, kẻ $MK \perp A'A$. Khi đó $MK \perp (A'BC)$, do đó $d(A,(A'BC)) = MK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $AH = AM . tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2} . \sqrt{3} = \frac{3a}{2}$.

Diện tích đáy là $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Thể tích lăng trụ là $V = S_{ABC} . AH = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} . \frac{3a}{2} = \frac{a^3}{8}$.

Câu 18:

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm như hình vẽ.

Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết là hình thang vuông ở và với độ dài , ,

Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở nên người ta lấy độ cao ở các điểm , , xuống thấp hơn so với độ cao ở là , , tương ứng. Tính giá trị của

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi độ cao tại A là 0, độ cao tại các điểm B, C, D lần lượt là -0.032, -0.044, -0.046.
Vì các điểm B, C, D được lấy thấp hơn độ cao tại A một lượng tương ứng nên ta có:

Tọa độ điểm $A(0;0;0)$

Tọa độ điểm $B(3;0;-0.032)$

Tọa độ điểm $C(3;4;-0.044)$

Tọa độ điểm $D(0;5;-0.046)$

Mặt phẳng $(BCD)$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD}] = (0.048; -0.036; -12)$
Phương trình mặt phẳng $(BCD)$ là $0.048(x-3) - 0.036(y-4) - 12(z+0.044) = 0$ tương đương $0.048x - 0.036y -12z - 0.3 = 0$
Do A nằm trên mặt phẳng nên thay tọa độ A vào ta được $0.048(0) - 0.036(0) -12h - 0.3 = 0$ tương đương $h = -0.025$
Vì các điểm B, C, D được lấy thấp hơn độ cao tại A một lượng tương ứng nên A phải cao hơn các điểm còn lại.\
$=> h = |-0.032 - (-0.044)|= 0.012m$ hoặc $h = 0.016m$\Vì vậy đáp án là 0.016m

Câu 19:

Trong một đợt khám sức khỏe của 50 học sinh nam lớp 12, người ta được kết quả về chiều cao (đơn vị: cm) của các học sinh như bảng dưới đây.

Nhóm
Tần số	3	8	18	12	9

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho ở bảng trên bằng bao nhiêu centimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$, $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$ và $n$ là số lượng phần tử của mẫu.

Trong bài toán này, ta có:

$x_1 = 161$, $n_1 = 3$

$x_2 = 163$, $n_2 = 8$

$x_3 = 165$, $n_3 = 18$

$x_4 = 167$, $n_4 = 12$

$x_5 = 169$, $n_5 = 9$

Số lượng phần tử của mẫu là $n = 3 + 8 + 18 + 12 + 9 = 50$.

Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{5} n_i x_i = \frac{3 \cdot 161 + 8 \cdot 163 + 18 \cdot 165 + 12 \cdot 167 + 9 \cdot 169}{50} = \frac{8290}{50} = 165.8$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{5} n_i (x_i - \overline{x})^2} = \sqrt{\frac{1}{49} \left[ 3(161-165.8)^2 + 8(163-165.8)^2 + 18(165-165.8)^2 + 12(167-165.8)^2 + 9(169-165.8)^2 \right]} \approx 12.8$

Vậy đáp án là 12,8

Câu 20:

Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng , dài

Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm , chạy đến điểm và bơi từ điểm đến điểm như hình bên. Hỏi nên chọn điểm cách gần bằng bao nhiêu mét để vận động viên đến nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng vận tốc chạy là km/h, vận tốc bơi là km/h.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $x$ là khoảng cách từ $A$ đến $C$.
Thời gian vận động viên chạy là $t_1 = \frac{x}{16}$ (km/h) = $\frac{x}{16000}$ (km/s) = $\frac{x}{16}$ (h).
Thời gian vận động viên bơi là $t_2 = \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$ (km/h)

Tổng thời gian $t = t_1 + t_2 = \frac{x}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $t$, ta khảo sát hàm số $t(x) = \frac{x}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$ với $0 \le x \le 100$.

Tính đạo hàm $t'(x) = \frac{1}{16} - \frac{100-x}{4\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}$

Giải phương trình $t'(x) = 0$ ta được: $\frac{1}{16} = \frac{100-x}{4\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}$
$\Rightarrow \sqrt{50^2 + (100-x)^2} = 4(100-x)$
$\Rightarrow 50^2 + (100-x)^2 = 16(100-x)^2$
$\Rightarrow 2500 = 15(100-x)^2$
$\Rightarrow (100-x)^2 = \frac{500}{3}$
$\Rightarrow 100 - x = \sqrt{\frac{500}{3}} \approx 12.91$
$\Rightarrow x = 100 - 12.91 \approx 87.09$

Tuy nhiên, cách giải trên không phù hợp với học sinh THPT.
Dựa vào hình vẽ, ta có thể ước lượng $C$ nằm gần $A$ hơn, nên ta kiểm tra các đáp án:

Với $x = 21$, $t = \frac{21}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-21)^2}}{4} \approx 1.3125 + 22.12 \approx 23.43$
Với $x = 22$, $t = \frac{22}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-22)^2}}{4} \approx 1.375 + 21.93 \approx 23.305$
Với $x = 23$, $t = \frac{23}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-23)^2}}{4} \approx 1.4375 + 21.73 \approx 23.1675$
Với $x = 24$, $t = \frac{24}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-24)^2}}{4} \approx 1.5 + 21.53 \approx 23.03$

Ta thấy với $x$ tăng thì thời gian giảm, do đó ta chọn điểm gần $A$ nhất.

Câu 21:

Người ta thiết kế một mẫu gạch lát nền nhà có dạng hình vuông cạnh

Bốn góc viên gạch màu trắng, phần ở giữa màu xanh (như hình vẽ). Đường viền của phần màu xanh bao gồm bốn đoạn thẳng nằm trên các cạnh hình vuông và bốn đường cong có tính chất: Tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch (hai đường thẳng đi qua tâm viên gạch và lần lượt song song với hai cạnh vuông góc) bằng

Hãy cho biết phần màu xanh có diện tích bằng bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải: