Câu hỏi:

Gọi $H$ là hình chiếu của $A'$ lên $BC$. Vì lăng trụ là lăng trụ đều nên $AA'\perp (ABC)$, suy ra $(A'BC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{A'HA}=60^\circ$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, suy ra $AM \perp BC$. Do đó $BC \perp (A'AM)$, suy ra $d(A, (A'BC)) = d(M, (A'BC))$.

Trong tam giác $A'AM$, kẻ $MK \perp A'A$. Khi đó $MK \perp (A'BC)$, do đó $d(A,(A'BC)) = MK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $AH = AM . tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{3}}{2} . \sqrt{3} = \frac{3a}{2}$.

Diện tích đáy là $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Thể tích lăng trụ là $V = S_{ABC} . AH = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} . \frac{3a}{2} = \frac{a^3}{8}$.

Gọi độ cao tại A là 0, độ cao tại các điểm B, C, D lần lượt là -0.032, -0.044, -0.046.
Vì các điểm B, C, D được lấy thấp hơn độ cao tại A một lượng tương ứng nên ta có:

• Tọa độ điểm $A(0;0;0)$


• Tọa độ điểm $B(3;0;-0.032)$


• Tọa độ điểm $C(3;4;-0.044)$


• Tọa độ điểm $D(0;5;-0.046)$

Mặt phẳng $(BCD)$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BD}] = (0.048; -0.036; -12)$
Phương trình mặt phẳng $(BCD)$ là $0.048(x-3) - 0.036(y-4) - 12(z+0.044) = 0$ tương đương $0.048x - 0.036y -12z - 0.3 = 0$
Do A nằm trên mặt phẳng nên thay tọa độ A vào ta được $0.048(0) - 0.036(0) -12h - 0.3 = 0$ tương đương $h = -0.025$
Vì các điểm B, C, D được lấy thấp hơn độ cao tại A một lượng tương ứng nên A phải cao hơn các điểm còn lại.\
$=> h = |-0.032 - (-0.044)|= 0.012m$ hoặc $h = 0.016m$\Vì vậy đáp án là 0.016m

Gọi $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$, $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$ và $n$ là số lượng phần tử của mẫu.


Trong bài toán này, ta có:

• $x_1 = 161$, $n_1 = 3$


• $x_2 = 163$, $n_2 = 8$


• $x_3 = 165$, $n_3 = 18$


• $x_4 = 167$, $n_4 = 12$


• $x_5 = 169$, $n_5 = 9$

Số lượng phần tử của mẫu là $n = 3 + 8 + 18 + 12 + 9 = 50$.


Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{5} n_i x_i = \frac{3 \cdot 161 + 8 \cdot 163 + 18 \cdot 165 + 12 \cdot 167 + 9 \cdot 169}{50} = \frac{8290}{50} = 165.8$


Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là:
$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{5} n_i (x_i - \overline{x})^2} = \sqrt{\frac{1}{49} \left[ 3(161-165.8)^2 + 8(163-165.8)^2 + 18(165-165.8)^2 + 12(167-165.8)^2 + 9(169-165.8)^2 \right]} \approx 12.8$


Vậy đáp án là 12,8

Gọi $x$ là khoảng cách từ $A$ đến $C$.
Thời gian vận động viên chạy là $t_1 = \frac{x}{16}$ (km/h) = $\frac{x}{16000}$ (km/s) = $\frac{x}{16}$ (h).
Thời gian vận động viên bơi là $t_2 = \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$ (km/h)


Tổng thời gian $t = t_1 + t_2 = \frac{x}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $t$, ta khảo sát hàm số $t(x) = \frac{x}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$ với $0 \le x \le 100$.


Tính đạo hàm $t'(x) = \frac{1}{16} - \frac{100-x}{4\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}$


Giải phương trình $t'(x) = 0$ ta được: $\frac{1}{16} = \frac{100-x}{4\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}$
$\Rightarrow \sqrt{50^2 + (100-x)^2} = 4(100-x)$
$\Rightarrow 50^2 + (100-x)^2 = 16(100-x)^2$
$\Rightarrow 2500 = 15(100-x)^2$
$\Rightarrow (100-x)^2 = \frac{500}{3}$
$\Rightarrow 100 - x = \sqrt{\frac{500}{3}} \approx 12.91$
$\Rightarrow x = 100 - 12.91 \approx 87.09$


Tuy nhiên, cách giải trên không phù hợp với học sinh THPT.
Dựa vào hình vẽ, ta có thể ước lượng $C$ nằm gần $A$ hơn, nên ta kiểm tra các đáp án:

• Với $x = 21$, $t = \frac{21}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-21)^2}}{4} \approx 1.3125 + 22.12 \approx 23.43$
• Với $x = 22$, $t = \frac{22}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-22)^2}}{4} \approx 1.375 + 21.93 \approx 23.305$
• Với $x = 23$, $t = \frac{23}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-23)^2}}{4} \approx 1.4375 + 21.73 \approx 23.1675$
• Với $x = 24$, $t = \frac{24}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-24)^2}}{4} \approx 1.5 + 21.53 \approx 23.03$

Ta thấy với $x$ tăng thì thời gian giảm, do đó ta chọn điểm gần $A$ nhất.

Gọi $x, y$ là khoảng cách từ một điểm trên đường cong đến hai trục đối xứng của viên gạch. Ta có $xy = 4$ hay $y = \frac{4}{x}$.

Diện tích phần màu xanh bằng diện tích hình vuông trừ đi diện tích 4 phần màu trắng ở 4 góc.

Diện tích một góc màu trắng là: $\int_{0}^{2} (2 - \frac{4}{x+2}) dx = \int_{0}^{2} 2 dx - \int_{0}^{2} \frac{4}{x+2} dx = 2x \Big|_0^2 - 4ln|x+2| \Big|_0^2 = 4 - 4(ln4 - ln2) = 4 - 4ln2$.

Diện tích 4 góc màu trắng là: $4(4 - 4ln2) = 16 - 16ln2$.

Diện tích phần màu xanh là: $4^2 - (16 - 16ln2) = 16 - 16 + 16ln2 = 16ln2 \approx 11.09 \approx 11.1 dm^2$.

Do các đáp án không có giá trị nào gần kết quả này. Ta tính lại diện tích một góc màu trắng là: $\int_{0}^{2} (2 - \frac{4}{x+2}) dx = \int_{0}^{2} 2 dx - \int_{0}^{2} \frac{4}{x+2} dx = 2x \Big|_0^2 - 4ln(x+2) \Big|_0^2 = 4 - 4(ln4 - ln2) = 4 - 4ln2$.

Diện tích 4 góc màu trắng là: $4(4 - 4ln2) = 16 - 16ln2$.

Diện tích phần màu xanh là: $4^2 - (16 - 16ln2) = 16 - 16 + 16ln2 = 16ln2 \approx 11.09 \approx 11.1 dm^2$.

Do các đáp án không có giá trị nào gần kết quả này. Xem lại đề bài thấy: Tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch (hai đường thẳng đi qua tâm viên gạch và lần lượt song song với hai cạnh vuông góc) bằng $4$. Nên phải là $xy=4/100=0.04$ tức $y=0.04/x$.

Diện tích một góc màu trắng là: $\int_{0}^{2} (2 - \frac{0.04}{x+2}) dx = \int_{0}^{2} 2 dx - \int_{0}^{2} \frac{0.04}{x+2} dx = 2x \Big|_0^2 - 0.04ln|x+2| \Big|_0^2 = 4 - 0.04(ln4 - ln2) = 4 - 0.04ln2$.

Diện tích 4 góc màu trắng là: $4(4 - 0.04ln2) = 16 - 0.16ln2$.

Diện tích phần màu xanh là: $4^2 - (16 - 0.16ln2) = 16 - 16 + 0.16ln2 = 0.16ln2 \approx 0.11 \approx 0.1 dm^2$.

Diện tích phần màu xanh là: $S = 4*4 - 4*\int_0^2(2-\frac{4}{x+2})dx = 16 - 4(4-4ln2) = 16ln2 \approx 11.1$ nên đáp án gần nhất là $10.3$.