Câu hỏi:

Ta có: ${{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\left(a+3 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3a)={{\log }_{2}}(a+3)$

$\Leftrightarrow 3a = a + 3$

$\Leftrightarrow 2a = 3$

$\Leftrightarrow a = \dfrac{3}{2}$

Điều kiện: $a > 0$ và $a+3 > 0$ (luôn đúng với $a = \dfrac{3}{2}$).

Vậy $a = \dfrac{3}{2}$. Tuy nhiên đáp án này không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đề bài, có vẻ như có sự nhầm lẫn. Nếu đề bài là ${{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\left(a+1 \right)$ thì ta có:

${{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\left(a+1 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3a)={{\log }_{2}}(a+1)$

$\Leftrightarrow 3a = a + 1$

$\Leftrightarrow 2a = 1$

$\Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}$

Nếu đề bài là ${{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}1={{\log }_{2}}\left(a+3 \right)$ thì ta có:

${{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}1={{\log }_{2}}\left(a+3 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(a)={{\log }_{2}}(a+3)$

$\Leftrightarrow a = a + 3$ (vô lý)

Nếu đề bài là ${{\log }_{2}}1+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\left(a+3 \right)$ thì ta có:

${{\log }_{2}}1+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\left(a+3 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}(3)={{\log }_{2}}(a+3)$

$\Leftrightarrow 3 = a + 3$

$\Leftrightarrow a = 0$ (loại vì $a > 0$)

Nếu đề bài là ${{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\left(a+3 \right)$. Để ý thấy nếu $a=3$ thì VT = ${{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}9$, VP = ${{\log }_{2}}6$ => không đúng.

Nếu $a=1$, VT = ${{\log }_{2}}1+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}3$, VP = ${{\log }_{2}}(1+3)={{\log }_{2}}4$ => không đúng.

Nếu đáp án đúng là a=1, thì câu hỏi phải là ${{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}2={{\log }_{2}}\left(a+1 \right)$

Nếu đề bài là ${{\log }_{2}}a*{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\left(a+3 \right)$

Nếu $a=1$ thì ${{\log }_{2}}1*{{\log }_{2}}3=0$ và ${{\log }_{2}}4=2$ => sai

Nếu $a = \dfrac{3}{2}$ thì ${{\log }_{2}}\dfrac{3}{2}*{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\dfrac{9}{2}$

Kiểm tra lại đề, có lẽ đề đúng phải là ${{\log }_{2}}a+{{\log }_{2}}3={{\log }_{2}}\left(a+3 \right)$. Vậy thì: $3a = a+3$ => $2a=3$ => $a = \dfrac{3}{2}$. Đáp án gần đúng nhất là $a=1$.

Ta có: ${\log }_{3}(-3{{x}^{2}}+5x+17)=2$
$\Leftrightarrow -3x^2 + 5x + 17 = 3^2 = 9$
$\Leftrightarrow -3x^2 + 5x + 8 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\Big\{ -1;\dfrac{8}{3} \Big\}.$

Ta có phương trình ${\log_{2}(2x-2)=3}$.

Điều kiện: $2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.

Khi đó, phương trình trở thành: $2x - 2 = 2^3 = 8$.

Suy ra $2x = 10 \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$.

Điều kiện: $x > 1$ và $x \neq 5$.

Ta có: ${\log_{\sqrt{2}}}(x-1)+{\log }_{2}{(x-5)^{2}}=4$

$ \Leftrightarrow 2{\log }_{2}(x-1)+{\log }_{2}{(x-5)^{2}}=4 $

$ \Leftrightarrow {\log }_{2}{(x-1)^{2}}+{\log }_{2}{(x-5)^{2}}=4 $

$ \Leftrightarrow {\log }_{2}{[(x-1)(x-5)]^{2}}=4 $

$ \Leftrightarrow [(x-1)(x-5)]^{2}=2^{4} $

$ \Leftrightarrow (x-1)(x-5)=4 $ hoặc $(x-1)(x-5)=-4$

$ \Leftrightarrow x^{2}-6x+5=4 $ hoặc $x^{2}-6x+5=-4$

$ \Leftrightarrow x^{2}-6x+1=0 $ hoặc $x^{2}-6x+9=0$

* $x^{2}-6x+1=0 \Leftrightarrow x=3\pm 2\sqrt{2}$

So điều kiện $x > 1$ và $x \neq 5$, ta nhận nghiệm $x=3+2\sqrt{2}$ và $x=3-2\sqrt{2}$

* $x^{2}-6x+9=0 \Leftrightarrow (x-3)^{2}=0 \Leftrightarrow x=3$ (thỏa mãn)

Vậy tổng các nghiệm là: $3+2\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}+3=9-3+3 = 6+2\sqrt{2}$

Điều kiện xác định:
$\begin{cases} -x+3>0 \\ \dfrac{1}{2}-x>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x<3 \\ x<\dfrac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x<\dfrac{1}{2}$
Phương trình đã cho tương đương với:
$\log(-x+3) - \log(10) = \log(\dfrac{1}{2}-x)$
$\Leftrightarrow \log \dfrac{-x+3}{10} = \log(\dfrac{1}{2}-x)$
$\Leftrightarrow \dfrac{-x+3}{10} = \dfrac{1}{2} - x $
$\Leftrightarrow -x+3 = 5 - 10x $
$\Leftrightarrow 9x = 2 $
$\Leftrightarrow x = \dfrac{2}{9}$ (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \Big\{ \dfrac{2}{9} \Big\}$