Câu hỏi:

Để \((\widehat{\vec{u}, \vec{v}})<90^{\circ} \Rightarrow \cos (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})>0\).

\(\Rightarrow \vec{u}.\vec{v}>0\Leftrightarrow 3+{{\log }_{3}}5.{{\log }_{5}}3+4{{\log }_{m}}2>0\)

\(\Leftrightarrow 4+4 \log _m 2>0 \Leftrightarrow \log _m 2>-1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>1 \\ m<\frac{1}{2}\end{array}\right.\).

Kết hợp điều kiện \(m>0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}m>1 \\ 0<m<\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

Ta có:

\(\begin{align}  & 2\left( {{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}} \right)={{u}_{6}}+{{u}_{7}}+{{u}_{8}} \\  & \Leftrightarrow 2\left( {{u}_{3}}+{{u}_{3}}q+{{u}_{3}}{{q}^{2}} \right)={{u}_{6}}+{{u}_{6}}q+{{u}_{6}}{{q}^{2}} \\  & \Leftrightarrow 2{{u}_{3}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)={{u}_{6}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right) \\  & \Leftrightarrow 2{{u}_{3}}={{u}_{6}}\text{ do }1+q+{{q}^{2}}>0 \\  & \Leftrightarrow 2{{u}_{3}}={{u}_{3}}{{q}^{3}}\Leftrightarrow {{u}_{3}}\left( 2-{{q}^{3}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{u}_{3}}=0  \\   q=\sqrt[3]{2}  \\\end{array} \right. \\ \end{align}\) 

Ta có: \(\frac{{{u}_{8}}+{{u}_{9}}+{{u}_{10}}}{{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}}=\frac{{{u}_{8}}+{{u}_{8}}q+{{u}_{8}}{{q}^{2}}}{{{u}_{2}}+{{u}_{2}}q+{{u}_{2}}{{q}^{2}}}=\frac{{{u}_{8}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}{{{u}_{2}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}=\frac{{{u}_{2}}{{q}^{6}}}{{{u}_{2}}}={{q}^{6}}=4\).

Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

       B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

       C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

Ta có \(\overline{A}\) là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

          \(\overline{B}\) là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

          \(\overline{C}\) là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

\(P(A)=0,95 ; P(B)=0,85 ; P(\overline{A})=0,05 ; P(\overline{B})=0,15\)

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) là hai biến cố độc lập.

Mà \(\overline{C}=\overline{A.B}\)

\(P(\overline{C})=P(\overline{A}.\overline{B})=P(\overline{A}).P(\overline{B})=0,0075\).

\(\Rightarrow P(C)=1-P(\overline{C})=0,9925.\)

Xét hàm số \(S(t)=t^3-24 t^2+144 t+2500\) với \(1 \leq t \leq 20\).

Ta có: \(S^{\prime}(t)=3 t^2-48 t+144\)

\(S^{\prime}(t)=0 \Rightarrow 3 t^2-48 t+144=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=4 \in[1 ; 20] \\t=12 \in[1 ; 20]\end{array}\right.\)

Lại có: \(S(1)=2621 ; S(4)=2756 ; S(12)=2500 ; S(20)=3780\).

Do đó: \(\underset{[1;20]}{\mathop{\max }}\,S(t)=S(20)=3780\).

Vậy ngày thứ 20 là ngày có số lượng gạo xuất khẩu cao nhất.

\(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A B}=(-2 ; 1 ;-1) \\\overrightarrow{A D}=(1 ;-2 ; 0) \\\overrightarrow{A A^{\prime}}=(3 ; 0 ; 0)\end{array} \Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}=(2 ;-1 ;-1)\right.\).

Theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}=\overrightarrow{A C^{\prime}}\).

\(\Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { x _ { C ^ { \prime } } + 1 = 2 } \\{ y _ { C ^ { \prime } } - 1 = - 1 } \\{ z _ { C ^ { \prime } } - 2 = - 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_{C^{\prime}}=1 \\y_{C^{\prime}}=0 \\z_{C^{\prime}}=1\end{array} \Rightarrow C^{\prime}(1 ; 0 ; 1) .\right.\right.\)