Câu hỏi:

Phương pháp giải

Để đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì phương trình \(x^{3}+(m-4) x+2 m=0\) có ít nhất 1 nghiệm dương.

Lời giải

Để đồ thị hàm số có ít nhất một tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì phương trình \(x^{3}+(m-4) x+2 m=0\) có ít nhất 1 nghiệm dương.

Ta có:

\(x^{3}+(m-4) x+2 m=0 \\\Leftrightarrow x^{3}-4 x+m x+2 m=0 \\\Leftrightarrow x(x-2)(x+2)+m(x+2)=0 \\\Leftrightarrow(x+2)\left(x^{2}-2 x+m\right)=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2 \\x^{2}-2 x+m=0\left(^{*}\right)\end{array}\right.\)

Để \((*)\) có ít nhất 1 nghiệm dương thì:

TH1: \(\left({ }^{*}\right)\) có 2 nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow m<0\)

Mà \(m \in[-30 ; 30] ; m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in\{-30 ;-29 ; \ldots ;-1\}\).

TH2: (*) có 2 nghiệm phân biệt \(0 \leq x_{1}<x_{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}=1-m>0 \\ x_{1} x_{2}=m \geq 0 \\ x_{1}+x_{2}=2>0\end{array} \Leftrightarrow 0 \leq m<1\right.\).

Mà \(m \in[-30 ; 30] ; m \in \mathbb{Z}\) nên \(m=0\).

TH3: \(\left(^{*}\right)\) có nghiệm kép lớn hơn 0 .

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}=1-m=0 \\ x_{1} x_{2}=m>0 \\ x_{1} x_{2}>0\end{array} \Leftrightarrow 0<m \leq 1\right.\).

Mà \(m \in[-30 ; 30] ; m \in \mathbb{Z}\) nên \(m=1\).

Vậy \(m \in\{-30 ;-29 ; \ldots ; 1\} \Rightarrow\) có 32 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương pháp giải

Tìm chu kì của hàm số lượng giác

Lời giải

Hàm số \(y=3 \cos \left(\frac{\pi}{4}-m x\right)\) có nghĩa \(\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow D=\mathbb{R}\).

Chu kì của hàm số \(T=\frac{2 \pi}{|-m|}=3 \pi \Leftrightarrow m= \pm \frac{2}{3}\).

Phương pháp giải

Nhận dạng giới hạn vô định \(\frac{0}{0}\)

Lời giải

Vì \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+b x+c}{x-3}=8\) là hữu hạn nên phương trình \(x^{2}+b x+c=0\) có nghiệm \(x=3\)

\(\Leftrightarrow 3 b+c+9=0 \Leftrightarrow c=-9-3 b\)

Khi đó

\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+b x+c}{x-3}=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+b x-9-3 b}{x-3}=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x+3+b)}{x-3}\)

\(=\lim _{x \rightarrow 3}(x+3+b)=8 \Leftrightarrow 6+b=8 \Leftrightarrow b=2 \Rightarrow c=-15\)

Vậy \(P=b+c=-13\).

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta \geq 0\).

Áp dụng định lý Viet để tìm \(x_{1}+x_{2}\) và \(x_{1} x_{2}\) theo \(m\).

Từ đó tính giá trị lớn nhất của \(P\).

Lời giải

Để phương trình có hai nghiệm \(x_{1} ; x_{2}\) thì

\(\Delta=(m+2)^{2}-4\left(m^{2}+1\right) \geq 0 \Leftrightarrow-3 m^{2}+4 m \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq \frac{4}{3}\)

Áp dụng hệ thức Viet ta có: \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=m+2 \\ x_{1} \cdot x_{2}=m^{2}+1\end{array}\right.\)

Khi đó: \(P=4(m+2)-\left(m^{2}+1\right)=-m^{2}+4 m+7\).

Xét hàm số \(P(m)=-m^{2}+4 m+7, \forall m \in\left[0 ; \frac{4}{3}\right]\) có hệ số \(a<0\), hoành độ đỉnh \(x=2\) nên \(P(m)\) đồng biến trên \(\left[0 ; \frac{4}{3}\right] \Rightarrow \max _{\left[0 \cdot \frac{4}{3}\right]} P=P\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{95}{9}\).

Vì đề thi có 25 câu và mỗi câu có 4 phương án trả lời nên xác suất để Bình làm đúng \(k\) câu là

\(P=C_{25}^{k} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{k} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{25-k}=\frac{C_{25}^{k} \cdot 3^{25-k}}{4^{25}}\)

Với \(0 \leq k \leq 25\).

Xét hàm \(f(k)=C_{25}^{k} \cdot 3^{25-k}\) với \(k \in \mathbb{N}\) và \(k \leq 25\).

Ta có \(f(k)\) lớn nhất \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(k) \geq f(k-1) \\ f(k) \geq f(k+1)\end{array} \Leftrightarrow 6,5 \geq k \geq 5,5 \Rightarrow k=6\right.\).

Suy ra \(\max _{0 \leq k \leq 25} f(k)=f(6)\).

Vậy \(k=6\).