Câu hỏi:

Phương pháp giải

Để hàm số \(f(x) \leq 0\) vô nghiệm thì \(f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\).

Sử dụng ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai:

\(a x^{2}+b x+c>0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta<0\end{array}\right.\)

Lời giải

Để bất phương trình \(x^{2}-(m+2) x+8 m+1 \leq 0\) vô nghiệm thì \(x^{2}-(m+2) x+8 m+1>0, \forall x \in \mathbb{R}\).

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1>0 \\\Delta=(m+2)^{2}-4(8 m+1)<0\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow m^{2}+4 m+4-32 m-4<0\)

\(\Leftrightarrow m^{2}-28 m<0\)

\(\Leftrightarrow 0<m<28\).

Phương pháp giải

Sử dụng hoán vị.

Hoán vị

Lời giải

Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: \(5!=120\) (cách).

Phương pháp giải

Đặt \(v_{n}=u_{n}^{2}+1\). Chứng minh \(v_{n}\) là một cấp số nhân.

Từ đó tìm công thức tổng quát của \(u_{n}^{2}\).

Tính \(S\) bằng cách sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.

Sử dụng ứng dụng của logarit để tìm số chữ số của \(S\).

Lời giải

Ta có: \(u_{n+1}=\sqrt{3 u_{n}^{2}+2} \Leftrightarrow u_{n+1}^{2}=3 u_{n}^{2}+2 \Leftrightarrow u_{n+1}^{2}+1=3\left(u_{n}^{2}+1\right)\).

Đặt \(v_{n}=u_{n}^{2}+1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}v_{1}=2 .  v_{n+1}=3 v_{n}\end{array}\right.\).

Do \(\left(v_{n}\right)\) là cấp số nhân có \(v_{1}=2\) công bội \(q=3\) nên \(v_{n}=2.3^{n-1}\).

\(\Rightarrow u_{n}^{2}=2.3^{n-1}-1\).

Khi đó: \(S=2 .\left(1+3^{1}+3^{2}+\ldots+3^{2022}\right)=3^{2023}-1\).

Ta có: \(S+1=3^{2023}\) có \(\left[\log 3^{2023}\right]+1=966\) (chữ số).

Do đó \(S\) có 966 hoặc 965 chữ số.

\(S\) có 965 chữ số khi \(S+1=10^{965} \Leftrightarrow 3^{2023}=10^{965}\) (vô lý do \(3^{2023}\) là số lẻ còn \(10^{965}\) là số chẵn)

Vậy số chữ số của \(S=966\) (chữ số).

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(u_{n}=u_{k} q^{n-k}\)

Lời giải

Giả sử cấp số nhân có công bội là, khi đó theo bài ra ta có:

\(\begin{align}& 2\left(u_3+u_4+u_5\right)=u_6+u_7+u_3 \\& \Leftrightarrow 2\left(u_3+u_3 q+u_3 q^2\right)=u_6+u_6 q+u_6 q^2 \\& \Leftrightarrow 2 u_3\left(1+q+q^2\right)=u_6\left(1+q+q^2\right) \\& \Leftrightarrow 2 u_3=u_6 \text { do } 1+q+q^2>0 \\& \Leftrightarrow 2 u_3=u_3 q^3 \Leftrightarrow u_3\left(2-q^3\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}u_3=0 \\q=\sqrt[3]{2}\end{array}\right.\end{align}\)

Ta có: \(\frac{u_{8}+u_{9}+u_{10}}{u_{2}+u_{3}+u_{4}}=\frac{u_{8}+u_{8} q+u_{8} q^{2}}{u_{2}+u_{2} q+u_{2} q^{2}}=\frac{u_{8}\left(1+q+q^{2}\right)}{u_{2}\left(1+q+q^{2}\right)}=\frac{u_{2} q^{6}}{u_{2}}=q^{6}=4\)

Phương pháp giải

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

\(L=\lim \frac{3 n-1}{n+2}=3\)