Câu hỏi:

Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề, cần có thông tin cụ thể về:

• Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$.
• Phương trình đường thẳng $d$.
• Tọa độ các điểm $A$, $B$.
• Phương trình mặt cầu $(S)$ (tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$).

Nếu không có các thông tin này, không thể kiểm tra và kết luận chính xác về tính đúng sai của từng mệnh đề.

Gọi chiều rộng là x, chiều dài là 2x, chiều cao là h. Thể tích V = x * 2x * h = 2x^2 * h = 1000 => h = 500/x^2. Diện tích xung quanh S = 2*x*h + 2*2x*h = 6xh = 6x * (500/x^2) = 3000/x

Gọi $x$ là số lần tăng giá, với $x$ là số nguyên không âm.
Khi đó, giá mỗi phòng là $400 + 20x$ (nghìn đồng) và số phòng cho thuê là $50 - 2x$.
Tổng doanh thu là $T(x) = (400 + 20x)(50 - 2x) = 20000 - 800x + 1000x - 40x^2 = -40x^2 + 200x + 20000$.
Để tìm giá trị lớn nhất của $T(x)$, ta tìm đỉnh của parabol:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2(-40)} = \frac{200}{80} = 2.5$.
Vì $x$ là số nguyên, ta xét các giá trị $x = 2$ và $x = 3$.
$T(2) = -40(2)^2 + 200(2) + 20000 = -160 + 400 + 20000 = 20240$.
$T(3) = -40(3)^2 + 200(3) + 20000 = -360 + 600 + 20000 = 20240$.
Vậy doanh thu lớn nhất là 20240 nghìn đồng, đạt được khi $x = 2$ hoặc $x = 3$.
Nếu $x=2$, giá phòng là $400 + 20(2) = 440$ nghìn đồng.
Nếu $x=3$, giá phòng là $400 + 20(3) = 460$ nghìn đồng.
Vậy giá phòng để thu nhập lớn nhất là 440 hoặc 460 nghìn đồng. Nếu xét hàm số liên tục để tìm giá trị lớn nhất chính xác.
$T'(x) = -80x + 200 = 0 \Rightarrow x = 2.5$
Khi đó giá phòng là $400 + 20(2.5) = 450$ nghìn đồng.
Số phòng cho thuê là $50 - 2(2.5) = 45$ phòng
Tổng doanh thu là $450 * 45 = 20250$ (nghìn đồng) - lớn nhất.
Do đó, để doanh thu lớn nhất, giá phòng là 450 nghìn.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $A'B'$.


Ta có $BC \perp AM$ và $BC \perp AA'$ nên $BC \perp (AA'M)$.


Suy ra $(A'B'C') \perp (AA'M)$.


Trong $(AA'M)$, kẻ $AK \perp A'M$ tại $K$.


Khi đó $AK$ là đường vuông góc chung của $(A'B'C')$ và $(AA'M)$ nên $d(A,(A'B'M)) = AK$.


Ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$.


$\Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.


Kẻ $AE \perp (A'B'M)$ tại $E$. Khi đó $AE$ là khoảng cách cần tìm.


Ta có $\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AH^2} + \frac{1}{AK^2}$.


$AH = \frac{AA' \cdot AB'}{\sqrt{AA'^2 + AB'^2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{\sqrt{3a^2 + a^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$\frac{1}{AE^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{5}{3a^2} = \frac{9}{3a^2} = \frac{3}{a^2}$.


$\Rightarrow AE = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.


$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$d(A,(A'B'M)) = \frac{AA' \cdot AM}{\sqrt{AA'^2 + AM^2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3a^2 + \frac{3a^2}{4}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\sqrt{\frac{15a^2}{4}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{15}} = \frac{a\sqrt{15}}{5} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{5}$


Gọi $I$ là trung điểm $B'C'$. Ta có $AI \perp B'C'$ và $AI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


Kẻ $AH \perp A'I$. Khi đó $AH = d(A,(A'B'M))$.


$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$


$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.


$
Ta có \frac{d(A,(A'B'M))}{d(M,(A'B'M))} = \frac{AI}{MI} = 1$.


Gọi $d = d(A,(A'B'M))$.


$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$.


$d = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Gọi $V$ là số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng chuyền, $R$ là số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng rổ.
Số học sinh nữ trong câu lạc bộ bóng chuyền là $0.38V$.
Số học sinh nữ trong câu lạc bộ bóng rổ là $0.38R$.
Tổng số học sinh là $V+R$.
Tổng số học sinh nữ là $0.38V + 0.38R = 0.38(V+R)$.
Xác suất chọn được học sinh nữ là $\frac{0.38(V+R)}{V+R} = 0.38$.