Câu hỏi:

Gọi $x$ là số lần tăng giá, với $x$ là số nguyên không âm.
Khi đó, giá mỗi phòng là $400 + 20x$ (nghìn đồng) và số phòng cho thuê là $50 - 2x$.
Tổng doanh thu là $T(x) = (400 + 20x)(50 - 2x) = 20000 - 800x + 1000x - 40x^2 = -40x^2 + 200x + 20000$.
Để tìm giá trị lớn nhất của $T(x)$, ta tìm đỉnh của parabol:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{200}{2(-40)} = \frac{200}{80} = 2.5$.
Vì $x$ là số nguyên, ta xét các giá trị $x = 2$ và $x = 3$.
$T(2) = -40(2)^2 + 200(2) + 20000 = -160 + 400 + 20000 = 20240$.
$T(3) = -40(3)^2 + 200(3) + 20000 = -360 + 600 + 20000 = 20240$.
Vậy doanh thu lớn nhất là 20240 nghìn đồng, đạt được khi $x = 2$ hoặc $x = 3$.
Nếu $x=2$, giá phòng là $400 + 20(2) = 440$ nghìn đồng.
Nếu $x=3$, giá phòng là $400 + 20(3) = 460$ nghìn đồng.
Vậy giá phòng để thu nhập lớn nhất là 440 hoặc 460 nghìn đồng. Nếu xét hàm số liên tục để tìm giá trị lớn nhất chính xác.
$T'(x) = -80x + 200 = 0 \Rightarrow x = 2.5$
Khi đó giá phòng là $400 + 20(2.5) = 450$ nghìn đồng.
Số phòng cho thuê là $50 - 2(2.5) = 45$ phòng
Tổng doanh thu là $450 * 45 = 20250$ (nghìn đồng) - lớn nhất.
Do đó, để doanh thu lớn nhất, giá phòng là 450 nghìn.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $A'B'$.


Ta có $BC \perp AM$ và $BC \perp AA'$ nên $BC \perp (AA'M)$.


Suy ra $(A'B'C') \perp (AA'M)$.


Trong $(AA'M)$, kẻ $AK \perp A'M$ tại $K$.


Khi đó $AK$ là đường vuông góc chung của $(A'B'C')$ và $(AA'M)$ nên $d(A,(A'B'M)) = AK$.


Ta có $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$.


$\Rightarrow AK = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.


Kẻ $AE \perp (A'B'M)$ tại $E$. Khi đó $AE$ là khoảng cách cần tìm.


Ta có $\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AH^2} + \frac{1}{AK^2}$.


$AH = \frac{AA' \cdot AB'}{\sqrt{AA'^2 + AB'^2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{\sqrt{3a^2 + a^2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$\frac{1}{AE^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{5}{3a^2} = \frac{9}{3a^2} = \frac{3}{a^2}$.


$\Rightarrow AE = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.


$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


$d(A,(A'B'M)) = \frac{AA' \cdot AM}{\sqrt{AA'^2 + AM^2}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3a^2 + \frac{3a^2}{4}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\sqrt{\frac{15a^2}{4}}} = \frac{\frac{3a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{15}}{2}} = \frac{3a}{\sqrt{15}} = \frac{a\sqrt{15}}{5} = \frac{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{5}$


Gọi $I$ là trung điểm $B'C'$. Ta có $AI \perp B'C'$ và $AI = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.


Kẻ $AH \perp A'I$. Khi đó $AH = d(A,(A'B'M))$.


$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$


$\Rightarrow AH = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.


$
Ta có \frac{d(A,(A'B'M))}{d(M,(A'B'M))} = \frac{AI}{MI} = 1$.


Gọi $d = d(A,(A'B'M))$.


$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AM^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{4}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$.


$d = \frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Gọi $V$ là số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng chuyền, $R$ là số học sinh tham gia câu lạc bộ bóng rổ.
Số học sinh nữ trong câu lạc bộ bóng chuyền là $0.38V$.
Số học sinh nữ trong câu lạc bộ bóng rổ là $0.38R$.
Tổng số học sinh là $V+R$.
Tổng số học sinh nữ là $0.38V + 0.38R = 0.38(V+R)$.
Xác suất chọn được học sinh nữ là $\frac{0.38(V+R)}{V+R} = 0.38$.

Diện tích hình parabol là $S = \frac{2}{3}ah$, với $a$ là chiều rộng và $h$ là chiều cao.
Trong trường hợp này, $a = 6$ m và $h = 5$ m.
Vậy, $S = \frac{2}{3} \cdot 6 \cdot 5 = 20$ m$^2$.
Giá thuê mỗi mét vuông là 3 triệu đồng, vậy tổng số tiền phải trả là $20 \cdot 3 = 60$ triệu đồng.
Đáp án đúng là 60 triệu đồng.

Gọi tọa độ điểm $C(x;y;z)$. Vì $C$ thuộc đường thẳng đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$ nên ta có:
$C(5+t; 3+2t; -3t)$
Vì $x=8$ nên $5+t = 8 \Rightarrow t=3$.
Suy ra $C(8; 9; -9)$.
Ta có $\vec{AC} = (3; 6; -9) = 3(1; 2; -3) = 3\vec{v}$.
$\Rightarrow AC = 3\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{14}$
$\vec{AB} = k\vec{v} = (k; 2k; -3k)$
$\Rightarrow AB = |k|\sqrt{14} = \sqrt{35} \Rightarrow |k| = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$
Vì $C$ nằm trên đường thẳng $AB$ và sau 3 phút thì đến $C$ nên $AC = v*3$ (v là vận tốc cabin).
$AC = 3\sqrt{14} = v*3$ suy ra $v = \sqrt{14}$.
Ta có $AB = \sqrt{35}$ nên thời gian đi từ $A$ đến $B$ là $t = \frac{AB}{v} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.
$AC = 3\sqrt{14}$ suy ra thời gian đi từ $A$ đến $C$ là $t' = \frac{AC}{v} = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = 3$. Vì sau 3 phút đến $C(8,9,-9)$, ta biết cabin chuyển động từ A->C.
Vì C có hoành độ là 8 nên sau 3 phút kể từ khi xuất phát cabin đến vị trí C.
Ta lại có $AB = |k|\sqrt{14} = \sqrt{35}$
$\Rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{14}}{\sqrt{35}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow t_{AC} = t_{AB} * \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 3 * \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{35}} * \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 3 * 3 * \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} * \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 4.5$
Vậy thời gian di chuyển của cabin trên quãng đường $AC$ là 4.5 phút.