Câu hỏi:

Theo định nghĩa nguyên hàm, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F'(x) = f(x)$.
Vậy đáp án đúng là B.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục $Ox$, $x=a$ và $x=b$ quanh trục $Ox$ là: $V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$.
Vậy, $V = \pi \int_{-3}^{1} f^2(x) dx$.

Khoảng tứ phân vị (Interquartile range) được tính bằng hiệu giữa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) và tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$).
Công thức: $IQR = Q_3 - Q_1$

Gọi $x_i$ là giá trị giữa của mỗi khoảng thời gian, và $n_i$ là số học sinh tương ứng.


Giá trị giữa các khoảng là: $x_1 = 3, x_2 = 10, x_3 = 12, x_4 = 15, x_5 = 20$.


Số học sinh tương ứng: $n_1 = 3, n_2 = 10, n_3 = 12, n_4 = 15, n_5 = 20$.


Số học sinh tổng cộng: $N = 3 + 10 + 12 + 15 + 20 = 60$.


Tính trung bình mẫu: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{5} n_i x_i}{N} = \frac{3\cdot3 + 10\cdot10 + 12\cdot12 + 15\cdot15 + 20\cdot20}{60} = \frac{9 + 100 + 144 + 225 + 400}{60} = \frac{878}{60} \approx 14.63$.


Tính độ lệch chuẩn mẫu:
$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{5} n_i (x_i - \bar{x})^2}{N-1}}$


$s = \sqrt{\frac{3(3-14.63)^2 + 10(10-14.63)^2 + 12(12-14.63)^2 + 15(15-14.63)^2 + 20(20-14.63)^2}{60-1}}$


$s = \sqrt{\frac{3(135.24) + 10(21.44) + 12(6.92) + 15(0.13) + 20(28.41)}{59}}$


$s = \sqrt{\frac{405.72 + 214.4 + 83.04 + 1.95 + 568.2}{59}} = \sqrt{\frac{1273.31}{59}} \approx \sqrt{21.58} \approx 4.645\approx 4.65$


Vậy đáp án gần nhất là $4.76$.

Gọi $a_1$ là chiều dài thanh ngang ngắn nhất (bậc dưới cùng) và $a_2$ là chiều dài thanh ngang dài thứ hai.
Công sai $d$ của cấp số cộng được tính như sau:
$d = a_2 - a_1 = \includegraphics[height=20]{data:image/png;base64,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\) - \includegraphics[height=25]{data:image/png;base64,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\) = \includegraphics[height=20]{data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAABUAAAARCAYAAAAyhueAAAAAAXNSR0IArs4c6QAAAMBJREFUOE/V0z0OAUEchvGfUu0COq2eSqN0AKUTSLSicACdRI0rOAF3oNMo1VpZmU3GEjE+ErabSeaZ5//OuyVf+EpfYPoZaAVLtMOUTWziiVNNyxhgiiO6WOAKnAqt44RdMMsumeCAcW6bCr33rsOw+TFobjqPc33XtIYeRiGWi3QMbWD9oLcz9OPDYb2KMr6Bpv4H2cvvi3UqmqZAs6mqoa83517JNAO24gqhg20eQyo0L3vR7irvVOhTEf0P9Ayo9h0Syrkv2wAAAABJRU5ErkJggg==}$\)