Câu hỏi:

Công sai $d$ của cấp số cộng được tính bằng $d = u_2 - u_1$.

Trong trường hợp này, $u_1 = 3$ và $u_2 = 9$, vậy $d = 9 - 3 = 6$.

Để hàm số $y = \sqrt{\frac{x+5}{4-x}}$ xác định thì biểu thức dưới căn phải không âm, tức là:

$\frac{x+5}{4-x} \ge 0$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

$(x+5)(4-x) \ge 0$ và $x \ne 4$

Xét dấu của tam thức bậc hai $(x+5)(4-x)$, ta có:

$-5 \le x < 4$

Vậy tập xác định của hàm số là $[-5;4)$.

• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi đạo hàm của nó lớn hơn 0 với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
• Xét đáp án A: $y = x^4 + x^2 + 1$. Đạo hàm $y' = 4x^3 + 2x$. $y' = 0$ tại $x=0$. Hàm số này không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Xét đáp án B: $y = \frac{x}{x+1}$. Đạo hàm $y' = \frac{1}{(x+1)^2} > 0$ nhưng hàm số không xác định tại $x = -1$, do đó hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Xét đáp án C: $y = x^3 + x$. Đạo hàm $y' = 3x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$. Vậy hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Xét đáp án D: $y = -x + 3$. Đạo hàm $y' = -1 < 0$. Hàm số này nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Vậy đáp án đúng là C.

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

• Đây là hàm bậc 3: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$


• $a > 0$ vì nhánh cuối hướng lên


• Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương (d > 0)

Từ đó, ta chọn đáp án D.

Ta có $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx $.\nĐặt $t = x^2 + 1$, suy ra $dt = 2x dx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2} dt$.\nKhi đó, $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+1} + C$.