Câu hỏi:

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Ta có $SO \perp (ABCD)$.

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều cạnh $a$ nên:

$AC = a\sqrt{2} \Rightarrow AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì $SM = 2MC \Rightarrow \frac{SM}{SC} = \frac{2}{3}$

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ trên $OC$. Khi đó $\frac{MH}{SO} = \frac{MC}{SC} = \frac{1}{3} \Rightarrow MH = \frac{1}{3}SO = \frac{a\sqrt{2}}{6}$

Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ trên $(ABCD)$. Suy ra $K$ thuộc $OC$ và $MK = MH = \frac{a\sqrt{2}}{6}$

Góc giữa $AM$ và $(ABCD)$ là $\widehat{MAK}$

Ta có $AK = AO + OK = AO + \frac{1}{3}OC = \frac{a\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$

$\tan \widehat{MAK} = \frac{MK}{AK} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{6}}{\frac{2a\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{4}$ => $\tan \widehat{MAK} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Ta có: $OK=\frac{1}{3}OC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}AC = \frac{1}{6}a\sqrt{2}$

$AK = AO+OK = \frac{a\sqrt{2}}{2} + \frac{a\sqrt{2}}{6} = \frac{2a\sqrt{2}}{3}$

$tan \alpha = \frac{MK}{AK} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{6}}{\frac{2a\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{4}$

$
$\tan \widehat{MAK} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{6}}{\frac{a\sqrt{2}}{3} + \frac{a\sqrt{2}}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{6}} = \frac{1}{4}$ => Đáp án D

Ta có $\vec{a} = (2; -1; 1)$ và $\vec{b} = (0; 1; -1)$.

Vectơ $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ có tọa độ là:

$\vec{c} = ((-1)(-1) - (1)(1); (1)(0) - (2)(-1); (2)(1) - (-1)(0)) = (1 - 1; 0 + 2; 2 - 0) = (0; 2; 2)$

Xem lại đề bài và các đáp án.

Vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng là vectơ có phương vuông góc với mặt phẳng đó.
Các vectơ cùng phương với một vectơ pháp tuyến cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Ta thấy:
$\overrightarrow{b} = -2\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{a}$
$\overrightarrow{d} = -\overrightarrow{a}$
Vậy $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ đều là các vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$. Tuy nhiên, chỉ có đáp án A là thỏa mãn đề bài.

Diện tích đáy hình vuông $ABCD$ là: $S_{ABCD} = a^2$.
Chiều cao của hình chóp là $SA = 2a$.
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là: $V = \frac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \frac{1}{3}a^2.2a = \frac{2a^3}{3}$.

Để tính số trung bình cộng, ta sử dụng công thức: $\bar{x} = \frac{\sum{x_i * n_i}}{\sum{n_i}}$


Trong đó:

• $x_i$ là thời gian chạy


• $n_i$ là tần số tương ứng

Áp dụng vào bài toán:


$\bar{x} = \frac{8.3 * 2 + 8.4 * 3 + 8.5 * 9 + 8.7 * 5 + 8.8 * 1}{2 + 3 + 9 + 5 + 1} = \frac{16.6 + 25.2 + 76.5 + 43.5 + 8.8}{20} = \frac{170.6}{20} = 8.53$


Vậy, số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là 8,53 giây. Do đó, đáp án gần đúng nhất là 8,54