Câu hỏi:

Gọi $x$ là khoảng cách từ chân cầu phía $B$ đến vị trí $B'$ đối xứng với $B$ qua bờ sông. Khi đó, độ dài đường đi từ $A$ đến $B$ qua cầu là $d = \sqrt{5^2 + x^2} + \sqrt{7^2 + (MN-x)^2}$. Để tìm giá trị nhỏ nhất của $d$, ta xét điểm $A'$ đối xứng với $A$ qua bờ sông. Khi đó, $AA' = 10$ và $A'M = AM$. Độ dài đường đi trở thành $d = A'M + NB$. Do $NB = NB'$, nên $d = A'M + MB'$. Đường đi ngắn nhất khi $A', M, N, B'$ thẳng hàng. Khi đó, ta có hai tam giác đồng dạng. Gọi $x$ là khoảng cách từ chân cầu $N$ phía $B$ đến $B'$, và $y$ là khoảng cách từ $N$ đến $A'$. Ta có $\frac{x}{y} = \frac{7}{5}$. Ta cũng biết $x + y = MN$, và $MN=336$. Suy ra $x = \frac{7}{12}MN = \frac{7}{12} \cdot AB =\frac{7}{12} \cdot 336 = \frac{7*336}{12} = 7 \cdot 28 = 196$ Từ đồng dạng ta có $\frac{x}{7} = \frac{MN}{\sqrt{(5+7)^2 + MN^2}}$ hay $\frac{x}{7} = \frac{MN}{AB} = \frac{MN}{\sqrt{12^2 + MN^2}}$ Đặt $MN=a$, ta cần tìm $x$ sao cho $AM + NB$ nhỏ nhất, ta có $d=AM+NB = \sqrt{5^2+(a-x)^2} + \sqrt{7^2+x^2}$ Để $d$ nhỏ nhất, ta cần dựng điểm $A'$ đối xứng $A$ qua mặt sông. Khi đó ta có $A'M = AM$. Do đó $d = A'M + NB = A'M+NB'$. Vậy $d$ ngắn nhất khi $A', M, N, B'$ thẳng hàng. Khi đó $A', B'$ cố định nên để $d$ ngắn nhất thì $MN$ phải vuông góc với hai bờ sông. Khi đó $x$ là khoảng cách từ $B'$ đến bờ sông $MN$, ta có $\frac{x}{7} = \frac{a}{\sqrt{12^2+a^2}}$. Từ hình ta có $x = \frac{7a}{\sqrt{144+a^2}} = 6.055... \approx 6$ Vậy nên xây cây cầu cách thành phố $B$ khoảng 6 km.