Câu hỏi:

Xét hàm số \(y=a^{x}\) đi qua điểm \((0; 1)\) suy ra đồ thị hàm số là đồ thị của hàm nghịch biến nên \(0<a<1\).

Xét hàm số \(y=\log _{b} x\) đi qua điểm \((1; 0)\) suy ra đồ thị của hàm số là đồ thị của hàm đồng biến nên \(b>1\).

Vậy \(0<a<1<b\).

\(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{7-x^{2}}}{\sqrt{x^{2}+16}-4}=\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{7-x^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}+16}+4\right)}{x^{2}}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{7}-\sqrt{7-x^{2}}\right)\left(\sqrt{x^{2}+16}+4\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{7-x^{2}}\right)}{x^{2}\left(\sqrt{7}+\sqrt{7-x^{2}}\right)}=\frac{x^{2}\left(\sqrt{x^{2}+16}+4\right)}{x^{2}\left(\sqrt{7}+\sqrt{7-x^{2}}\right)}=\frac{\left(\sqrt{x^{2}+16}+4\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{7-x^{2}}\right)}\)

Khi đó \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{7}-\sqrt{7-x^{2}}}{\sqrt{x^{2}+16}-4}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\sqrt{x^{2}+16}+4\right)}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{7-x^{2}}\right)}=\frac{4}{\sqrt{7}}\)

Vậy \(T=a+b=4+7=11\).

Áp dụng công thức \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\ln u}\) và \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\).

Khi đó ta có \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 x \cdot \ln x \cdot \sqrt{\ln (\ln x)}}\).

Ta có bảng tần số ghép nhóm chứa giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu là: \(n=3+6+5+4+2=20\).

Số trung bình của mẫu số liệu là:

\(\bar{x}=\frac{2,85.3+3,15.6+3,45.5+3,75.4+4,05.2}{20}=3,39\).

Đồ thị hàm số \(y=f(x)\) có 3 điểm cực trị là: \(A(0; 2), B(-1; 1), C(1; 1)\).

\(A B=\sqrt{(-1-0)^{2}+(1-2)^{2}}=\sqrt{2}\);

\(A C=\sqrt{(1-0)^{2}+(1-2)^{2}}=\sqrt{2}\);

\(B C=\sqrt{(1+1)^{2}+(1-1)^{2}}=2\).

Do \(A B=A C\) nên \(\triangle A B C\) cân tại \(A\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(M(0; 1); A M \perp B C; A M=\sqrt{(1-2)^{2}}=1\).

Vậy \(S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A M \cdot B C=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2=1\).