Câu hỏi:

\(\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A B}=(-2 ; 1 ;-1) \\\overrightarrow{A D}=(1 ;-2 ; 0) \\\overrightarrow{A A^{\prime}}=(3 ; 0 ; 0)\end{array} \Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}=(2 ;-1 ;-1)\right.\).

Theo quy tắc hình hộp ta có: \(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A A^{\prime}}=\overrightarrow{A C^{\prime}}\).

\(\Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { x _ { C ^ { \prime } } + 1 = 2 } \\{ y _ { C ^ { \prime } } - 1 = - 1 } \\{ z _ { C ^ { \prime } } - 2 = - 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x_{C^{\prime}}=1 \\y_{C^{\prime}}=0 \\z_{C^{\prime}}=1\end{array} \Rightarrow C^{\prime}(1 ; 0 ; 1) .\right.\right.\)

Đặt \(\vec{x}=(a; b; c)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   \vec{x}.\vec{a}=-5  \\   \vec{x}.\vec{b}=-11  \\   \vec{x}.\vec{c}=20  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   2a-b+3c=-5  \\   a-3b+2c=-11  \\   3a+2b-4c=20  \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   a=2  \\   b=3  \\   c=-2  \\\end{array} \right. \right. \right.\) 

Vậy \(\vec{x}=(2; 3 ;-2)\).

Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip. Độ dài trục lớn bằng \(20~\text{cm}\Rightarrow 2a=20\Rightarrow a=5\,\,(\text{cm})\)

Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

\(S=\pi b^2=16 \pi \Rightarrow b=4(\mathrm{cm})\)

Ta sẽ có phương trình elip \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)

\(\Rightarrow V=\pi \int\limits_{-5}^{5}{16\left( 1-\frac{{{x}^{2}}}{25} \right)}dx\approx 335\,\left( \text{c}{{\text{m}}^{3}} \right)=0,34\,(l).\)

Ta có: \(\overrightarrow{n_P}=(2 ;-1; 2); \overrightarrow{n_Q}=(1; m; 1)\)

Để hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau thì \(\overrightarrow{n_P} \perp \overrightarrow{n_Q}\).

\(\Leftrightarrow 2.1-1 . m+2.1=0 \Leftrightarrow m=4.\)

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: \(K H / / A D, K I / / B C \Rightarrow(A D ; B C)=(K H ; K I)\).

Xét \(\Delta BIC,BI=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\).

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}A B \perp D H \\ A B \perp H C\end{array} \Rightarrow A B \perp(D H C) \Rightarrow A B \perp H I\right.\).

Xét \(\Delta B I H, H I=\sqrt{I B^2-H B^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a}{2}\). (1)

Xét \(\Delta IHK\), ta có: \(\left\{\begin{array}{l}I K=\frac{B C}{2}=\frac{a}{2} \\ H K=\frac{A D}{2}=\frac{a}{2}\end{array} \Rightarrow I K=H K=\frac{a}{2}\right.\). (2)

Từ \((1),(2) \Rightarrow H I=I K=H K \Rightarrow \Delta I H K\) là tam giác đều \(\Rightarrow \widehat{I K H}=60^{\circ} \Rightarrow(K H ; K I)=60^{\circ}\).