Câu hỏi:

Ta có: \({{\log }_{a}}b+6{{\log }_{b}}a=5\).

Áp dụng công thức đổi cơ số: \({{\log }_{b}}a=\frac{1}{{{\log }_{a}}b}\).

Phương trình trở thành:

\({{\log }_{a}}b+\frac{6}{{{\log }_{a}}b}=5\).

Đặt \(x={{\log }_{a}}b\), ta được:

\(x+\frac{6}{x}=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=3\).

Trường hợp 1: \(x=2\Rightarrow {{\log }_{a}}b=2\Rightarrow b={{a}^{2}}\).

Điều kiện: \(2\le a\le 2020\), và \(b={{a}^{2}}\le 2020\Rightarrow a\le \sqrt{2020}=44\).

\(\Rightarrow a\in \{2,3,\ldots ,44\}\) có 43 giá trị \(\Rightarrow \) có 43 cặp \((a,b)\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(x=3\Rightarrow {{\log }_{a}}b=3\Rightarrow b={{a}^{3}}\).

Điều kiện: \(b={{a}^{3}}\le 2020\Rightarrow a\le \sqrt[3]{2020}=12\).

\(\Rightarrow a\in \{2,3,\ldots ,12\}\) có 11 giá trị \(\Rightarrow \) có 11 cặp \((a,b)\) thỏa mãn.

Vậy tổng số cặp \((a,b)\) thỏa mãn là: \(43+11=54\).

Ta có phương trình:

\({{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x). {f}''(x)=20{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+9\).

Nhận xét:

\(\frac{d}{dx}[f(x). {f}'(x)]={{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x). {f}''(x)\).

\(\Rightarrow \frac{d}{dx}[f(x). {f}'(x)]=20{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+9\).

Lấy nguyên hàm hai vế:

\(f(x). {f}'(x)=\int{(20{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+9)}dx=4{{x}^{5}}+4{{x}^{3}}+9x+C\).

Biết \(f(0)=0\Rightarrow f(0). {f}'(0)=0\Rightarrow C=0\).

\(\Rightarrow f(x). {f}'(x)=4{{x}^{5}}+4{{x}^{3}}+9x\).

\(\Rightarrow \) Phát biểu a) đúng.

Tiếp tục: Ta có \({{f}^{2}}(x)\) có đạo hàm là:

\(\frac{d}{dx}[{{f}^{2}}(x)]=2f(x){f}'(x)=2(4{{x}^{5}}+4{{x}^{3}}+9x)=8{{x}^{5}}+8{{x}^{3}}+18x\).

Lấy nguyên hàm:

\({{f}^{2}}(x)=\int{(8{{x}^{5}}+8{{x}^{3}}+18x)}dx=\frac{8}{6}{{x}^{6}}+\frac{8}{4}{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+C\).

\(\Rightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{4}{3}{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+C\).

Biết \(f(0)=0\Rightarrow {{f}^{2}}(0)=0\Rightarrow C=0\).

\(\Rightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{4}{3}{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}\).

Phát biểu b) nói \({{f}^{2}}(x)=\frac{2}{3}{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+\frac{9}{2}{{x}^{2}}\) là sai.

Kết luận:

- Phát biểu a) đúng.

- Phát biểu b) sai.

Xét hàm số \(h(x)=\frac{5}{{{f}^{2}}(x)-4f(x)+3}\).

Mẫu số bằng 0 khi:

\({{f}^{2}}(x)-4f(x)+3=0\Leftrightarrow (f(x)-1)(f(x)-3)=0\).

\(\Rightarrow \) \(f(x)=1\) hoặc \(f(x)=3\).

v Xét số nghiệm của \(f(x)=1\):

- Trên khoảng \((-\infty ,0)\), \(f(x)\) tăng từ 3 đến cực đại tại \(x=0\).

- Trên khoảng \((0,1)\), \(f(x)\) giảm đến \(+\infty \).

\(\Rightarrow \) Có 2 điểm cắt với \(f(x)=1\) trên khoảng \((-\infty ,1)\).

- Trên khoảng \((1,+\infty )\), \(f(x)\) tăng từ \(-\infty \) đến 2.

\(\Rightarrow \) Cắt thêm 1 lần nữa với \(f(x)=1\).

\(\Rightarrow \) Tổng cộng \(f(x)=1\) có 3 nghiệm phân biệt.

v Xét \(f(x)=3\):

- Khi \(x\to -\infty \), \(f(x)\to 3\) từ dưới lên, nên chạm \(f(x)=3\) đúng 1 lần

\(\Rightarrow \) \(f(x)=3\) có 1 nghiệm.

\(\Rightarrow \) Tổng số nghiệm của phương trình mẫu số \(=0\) là:

\(3+1=4\) tiệm cận đứng.

v Tiệm cận ngang:

Ta có:

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=2\Rightarrow h(x)=\frac{5}{{{f}^{2}}(x)-4f(x)+3}\to \frac{5}{4-8+3}=\frac{5}{-1}=-5\).\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=3\Rightarrow h(x)\to \frac{5}{9-12+3}=\frac{5}{0}\) (không tồn tại).

\(\Rightarrow \) Hàm số có 1 tiệm cận ngang tại \(y=-5\).

Kết luận:

- Số tiệm cận đứng là 4 \(\Rightarrow \) Phát biểu "2 tiệm cận đứng" là Sai.

- Số tiệm cận ngang là 1 \(\Rightarrow \) Phát biểu "1 tiệm cận ngang" là Đúng.

- Tổng cộng: \(4+1=5\) \(\Rightarrow \) Phát biểu "tổng là 3" là Sai.

Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\), nên tọa độ của \(M\) có dạng \(M(x;y;0)\).

Ta có:

\(A{{M}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+{{(0-4)}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+16\).

\(B{{M}^{2}}={{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(0-2)}^{2}}={{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+4\).

\(C{{M}^{2}}={{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(0+12)}^{2}}={{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+144\).

Theo đề bài, ta có \(A{{M}^{2}}+B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}=174\).

Thay các biểu thức đã tính ở trên vào, ta được:

\(\begin{align}  & {{(x-1)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}+16+{{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+4+{{(x-3)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+144 \\  & =174. \\ \end{align}\)

Khai triển và rút gọn phương trình trên, ta được:

\( {{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}-6y+9+16+{{x}^{2}}+2x+1+{{y}^{2}}-2y+1+4 +{{x}^{2}}-6x+9+{{y}^{2}}-4y+4+144 =174\)

\(3{{x}^{2}}-6x+3{{y}^{2}}-12y+188=174\)

\(3{{x}^{2}}-6x+3{{y}^{2}}-12y+14=0\)

\({{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}-4y+\frac{14}{3}=0\).

Để tìm tọa độ của \(M\), ta hoàn thành phương trình bằng cách đưa về dạng chính tắc của đường tròn:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   ({{x}^{2}}-2x+1)+({{y}^{2}}-4y+4) & =1+4-\frac{14}{3}  \\   {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}} & =\frac{15}{3}-\frac{14}{3}  \\   {{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}} & =\frac{1}{3}.  \\ \end{array}\)

Phương trình \({{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}=\frac{1}{3}\) là phương trình của một đường tròn tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Vậy, tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện đề bài là đường tròn có tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Do đó, hoành độ của điểm \(M\) là 1 và tung độ của điểm \(M\) là 2.

Vậy, hoành độ của điểm \(M\) là 1 và tung độ của điểm \(M\) là 2.

a) Sai.

Ta có:

\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=3{{u}_{n}}-7-{{u}_{n}}=2{{u}_{n}}-7\).

Vì hiệu phụ thuộc vào \({{u}_{n}}\) nên không cố định.

\(\Rightarrow \) Dãy không phải cấp số cộng \(\Rightarrow \) Sai.

b) Sai.

Ta có:

\(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{3{{u}_{n}}-7}{{{u}_{n}}}=3-\frac{7}{{{u}_{n}}}\).

Vì tỉ số thay đổi theo \(n\) nên không cố định.

\(\Rightarrow \) Dãy không phải cấp số nhân \(\Rightarrow \) Sai.

c) Sai.

Ta có:

\({{v}_{n+1}}={{u}_{n+1}}+\alpha =3{{u}_{n}}-7+\alpha =3({{v}_{n}}-\alpha )-7+\alpha =3{{v}_{n}}-2\alpha -7\).

Để \(({{v}_{n}})\) là cấp số nhân với công bội \(q=3\), ta cần:

\({{v}_{n+1}}=3{{v}_{n}}\Rightarrow 3{{v}_{n}}-2\alpha -7=3{{v}_{n}}\Rightarrow -2\alpha -7=0\Rightarrow \alpha =-\frac{7}{2}\).

Đề cho \(\alpha =\frac{7}{3}\ne -\frac{7}{2}\).\(\Rightarrow \) Sai.

d) Đúng.

Giải phương trình truy hồi:

\({{u}_{n+1}}=3{{u}_{n}}-7\).

Đặt nghiệm tổng quát:

\({{u}_{n}}=A. {{3}^{n}}+B\).

Tìm nghiệm riêng: đặt \({{u}_{n}}=c\Rightarrow c=3c-7\Rightarrow c=\frac{7}{2}\).

Nghiệm tổng quát:

\({{u}_{n}}=A. {{3}^{n}}+\frac{7}{2}\).

Thay \({{u}_{1}}=5\) vào:

\(5=A. 3+\frac{7}{2}\Rightarrow 3A=\frac{3}{2}\Rightarrow A=\frac{1}{2}\).

Vậy:

\({{u}_{n}}=\frac{1}{2}. {{3}^{n}}+\frac{7}{2}=\frac{{{3}^{n}}+7}{2}\).

Trùng khớp với công thức đề cho \(\Rightarrow \) Đúng.