Câu hỏi:

\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{[3f(x)-2\sin x]dx}\)

\(=3\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(x)dx}-2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin xdx}=3.6-2=16.\)

Mô hình hoá chân tháp bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy.

Vậy \(A B=5, A^{\prime} B^{\prime}=2, C C^{\prime}=3\).

\(ABCD\) là hình vuông \(\Rightarrow A C=\sqrt{A B^2+B C^2}=5 \sqrt{2} \Rightarrow C O=\frac{1}{2} A C=\frac{5 \sqrt{2}}{2}\)

\(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) là hình vuông \(\Rightarrow {{A}^{\prime }}{{C}^{\prime }}=\sqrt{{{A}^{\prime }}{{B}^{'}}^{2}+{{B}^{\prime }}{{C}^{'}}^{2}}=2\sqrt{2}\Rightarrow {{C}^{\prime }}{{O}^{\prime }}=\frac{1}{2}{{A}^{\prime }}{{C}^{\prime }}=\sqrt{2}\)

Kẻ \({{C}^{\prime }}H\bot OC\,\,(H\in OC)\)

\(O H C^{\prime} O^{\prime}\) là hình chữ nhật

\(\Rightarrow O H=O^{\prime} C^{\prime}=\sqrt{2}, O O^{\prime}=C^{\prime} H \Rightarrow C H=O C-O H=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\)

\(\Delta C C^{\prime} H\) vuông tại \(H \Rightarrow C^{\prime} H=\sqrt{C C^{\prime 2}-C H^2}=\frac{3 \sqrt{2}}{2} \Rightarrow O O^{\prime}=C^{\prime} H=\frac{3 \sqrt{2}}{2}\)

Diện tích đáy lớn là: \(S=A B^2=5^2=25\left(m^2\right)\)

Diện tích đáy bé là: \(S^{\prime}=A^{\prime} B^{\prime 2}=2^2=4\left(m^2\right)\)

Thể tích hình chóp cụt là:

\(V=\frac{1}{3}h\left( S+\sqrt{S{{S}^{\prime }}}+{{S}^{\prime }} \right)=\frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{2}}{2}(25+\sqrt{25.4}+4)=\frac{39\sqrt{2}}{2}\left( {{m}^{3}} \right)\)

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: \(\frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000\approx 40538432\) (đồng).

Để \((\widehat{\vec{u}, \vec{v}})<90^{\circ} \Rightarrow \cos (\widehat{\vec{u}, \vec{v}})>0\).

\(\Rightarrow \vec{u}.\vec{v}>0\Leftrightarrow 3+{{\log }_{3}}5.{{\log }_{5}}3+4{{\log }_{m}}2>0\)

\(\Leftrightarrow 4+4 \log _m 2>0 \Leftrightarrow \log _m 2>-1 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>1 \\ m<\frac{1}{2}\end{array}\right.\).

Kết hợp điều kiện \(m>0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}m>1 \\ 0<m<\frac{1}{2}\end{array}\right.\)

Ta có:

\(\begin{align}  & 2\left( {{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}} \right)={{u}_{6}}+{{u}_{7}}+{{u}_{8}} \\  & \Leftrightarrow 2\left( {{u}_{3}}+{{u}_{3}}q+{{u}_{3}}{{q}^{2}} \right)={{u}_{6}}+{{u}_{6}}q+{{u}_{6}}{{q}^{2}} \\  & \Leftrightarrow 2{{u}_{3}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)={{u}_{6}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right) \\  & \Leftrightarrow 2{{u}_{3}}={{u}_{6}}\text{ do }1+q+{{q}^{2}}>0 \\  & \Leftrightarrow 2{{u}_{3}}={{u}_{3}}{{q}^{3}}\Leftrightarrow {{u}_{3}}\left( 2-{{q}^{3}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   {{u}_{3}}=0  \\   q=\sqrt[3]{2}  \\\end{array} \right. \\ \end{align}\) 

Ta có: \(\frac{{{u}_{8}}+{{u}_{9}}+{{u}_{10}}}{{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}}=\frac{{{u}_{8}}+{{u}_{8}}q+{{u}_{8}}{{q}^{2}}}{{{u}_{2}}+{{u}_{2}}q+{{u}_{2}}{{q}^{2}}}=\frac{{{u}_{8}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}{{{u}_{2}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}=\frac{{{u}_{2}}{{q}^{6}}}{{{u}_{2}}}={{q}^{6}}=4\).

Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

       B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

       C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

Ta có \(\overline{A}\) là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

          \(\overline{B}\) là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

          \(\overline{C}\) là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

\(P(A)=0,95 ; P(B)=0,85 ; P(\overline{A})=0,05 ; P(\overline{B})=0,15\)

Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \(\overline{A}\) và \(\overline{B}\) là hai biến cố độc lập.

Mà \(\overline{C}=\overline{A.B}\)

\(P(\overline{C})=P(\overline{A}.\overline{B})=P(\overline{A}).P(\overline{B})=0,0075\).

\(\Rightarrow P(C)=1-P(\overline{C})=0,9925.\)