Cho hình chóp \(\mathrm{S}. \mathrm{ABC}\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), các cạnh \(A B=A C=a\), các góc \(\widehat{S B A}=\widehat{S C A}=90^{\circ}\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \((A B C)\) và \(S H=a \sqrt{2}\). Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng \((S A B)\) và \((S A C)\). *Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Câu 14:

Tập giá trị của hàm số \(y=\frac{\sin 3 x-2 \cos 3 x+10}{6 \cos x \cos 2 x-4 \cos ^{3} x+3}\) có bao nhiêu số nguyên?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

\(y=\frac{\sin 3 x-2 \cos 3 x+10}{6 \cos x \cos 2 x-4 \cos ^{3} x+3}\)

\(=\frac{\sin 3 x-2 \cos 3 x+10}{3(\cos 3 x+\cos x)-(\cos 3 x+3 \cos x)+3}\)

\(=\frac{\sin 3 x-2 \cos 3 x+10}{2 \cos 3 x+3}\)

\(\Leftrightarrow(2 \cos 3 x+3) y=\sin 3 x-2 \cos 3 x+10\)

\(\Leftrightarrow(2 y+2) \cos 3 x-\sin 3 x=10-3 y\)

Điều kiện có nghiệm của phương trình là:

\((2 y+2)^{2}+(-1)^{2} \geq(10-3 y)^{2}\)

\(\Leftrightarrow 4 y^{2}+8 y+4+1 \geq 100-60 y+9 y^{2}\)

\(\Leftrightarrow 5 y^{2}-68 y+95 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{34-\sqrt{681}}{5} \leq y \leq \frac{34+\sqrt{681}}{5}\).

Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y=\{2; 3; 4; \ldots; 12\}\).

Vậy tập giá trị của \(y\) có 11 số nguyên.

Câu 15:

Biểu đồ dưới đây thể hiện tỉ lệ lạm phát cơ bản bình quân năm trong giai đoạn 2018 - 2022:

(Nguồn: Niêm giám thống kê 2022)

Trong giai đoạn từ 2018 - 2021, năm có tỉ lệ lạm phát cơ bản bình quân năm cao nhất là?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Trong giai đoạn từ 2018 - 2021, năm 2020 có tỉ lệ lạm phát cơ bản bình quân năm cao nhất.

Câu 16:

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức \(h(t)=29+3 \sin \frac{\pi}{12}(t-9)\) với \(h\) tính bằng \({ }^{\circ} C\) và \(t\) là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Do \(-1 \leq \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 1, \forall t\) nên

\(-3 \leq 3 \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 3\)

\(\Leftrightarrow 26 \leq 29+3 \sin \frac{\pi}{12}(t-9) \leq 32\).

\(\Leftrightarrow 26 \leq h(t) \leq 32\).

Do đó nhiệt độ cao nhất trong ngày là \(32^{\circ} \mathrm{C}\).

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow \sin \frac{\pi}{12}(t-9)=1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t-9)=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \Leftrightarrow t=15+24 k~ (k \in \mathbb{Z})\)

Do \(0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 15+24 k \leq 24 \Leftrightarrow-\frac{15}{24} \leq k \leq \frac{9}{24}\). Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k=0\).

Khi đó \(t=15\).

Vậy lúc 15 h là thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày.

Câu 17:

Hai cậu bé cùng bắn bi vào lỗ. Xác suất người thứ nhất bắn trúng vào lỗ là \(85 \%\), xác suất người thứ hai bắn trúng vào lỗ là \(70 \%\). Hỏi xác suất để cả hai người cùng bắn trúng vào lỗ:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xác suất người thứ nhất bắn trúng lỗ: 0,85

Xác suất người thứ hai bắn trúng bia: 0,7

Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng bia: \(0,85 \cdot 0,7=0,595=59,5 \%\)

Câu 18:

Cho đồ thị hàm số lượng giác như hình vẽ:

Đường thẳng \(y=\frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y=2 \sin ^{2} x\) tại 4 điểm \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}\) như hình vẽ. Giá trị của \(x_{B}+x_{D}\) là \(\frac{a}{b} \pi\). Biết \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của \(2 a+b\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: 19

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\begin{align}& 2 \sin ^{2} x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 1-\cos 2 x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2 x=\frac{1}{2} \\& \Leftrightarrow 2 x= \pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi \Leftrightarrow x= \pm \frac{\pi}{6}+k \pi\end{align}\)

Ta thấy \(x_{A}, x_{B}, x_{C}, x_{D}\) là bốn nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên.

Do đó: \(x_{A}=\frac{\pi}{6}; x_{B}=\frac{5 \pi}{6}; x_{C}=\frac{7 \pi}{6}; x_{D}=\frac{11 \pi}{6} \Rightarrow x_{B}+x_{D}=\frac{8}{3} \pi\).

Vậy \(2 a+b=8.2+3=19\).

Câu 19:

Cho lăng trụ đứng \(A B C \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Gọi \(D\) là trung điểm cạnh \(BC\). Biết \(A A^{\prime}=2 a\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(A^{\prime} B\) và \(C^{\prime} D\) là:

Lời giải: