Câu hỏi:

Gọi \(D^{\prime}\) là trung điểm của \(B^{\prime} C^{\prime}\), ta có \(B D C^{\prime} D^{\prime}\) là hình bình hành.

\(\Rightarrow C^{\prime} D / / B D^{\prime} \Rightarrow C^{\prime} D / /\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\).

Kẻ \(B^{\prime} H \perp B D^{\prime}\).

Ta có: \(\left.\begin{array}{l}A^{\prime} D^{\prime} \perp B^{\prime} C^{\prime} \\ A^{\prime} D^{\prime} \perp B B^{\prime}\end{array}\right\} \Rightarrow A^{\prime} D^{\prime} \perp\left(B C C^{\prime} B^{\prime}\right) \Rightarrow A^{\prime} D^{\prime} \perp B^{\prime} H\).

\(\left.\begin{array}{l}B^{\prime} H \perp B D^{\prime} \\ B^{\prime} H \perp A^{\prime} D^{\prime}\end{array}\right\} \Rightarrow B^{\prime} H \perp\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\).

Suy ra,

\(d\left(A^{\prime} B, C^{\prime} D\right)=d\left(C^{\prime} D;\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\right)=d\left(C^{\prime};\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\right)=d\left(B^{\prime};\left(A^{\prime} B D^{\prime}\right)\right)=B^{\prime} H\).

Ta có: \(B^{\prime} D^{\prime}=\frac{a}{2}; B B^{\prime}=2 a\).

Xét \(\Delta B B^{\prime} D^{\prime}\) vuông tại \(B^{\prime}\) ta có:

\(\frac{1}{B^{\prime} H^{2}}=\frac{1}{B B^{\prime 2}}+\frac{1}{B^{\prime} D^{\prime 2}}=\frac{1}{4 a^{2}}+\frac{4}{a^{2}} \Rightarrow B H=\frac{2 a}{\sqrt{17}}\).

Trong \(\left(B B^{\prime} C^{\prime} C\right)\) kẻ \(C^{\prime} M / / B^{\prime} C(M \in B C)\).

\(\Rightarrow B^{\prime} C /\left(A C^{\prime} M\right) \Rightarrow d\left(A^{\prime} C; B^{\prime} C\right)=d\left(B^{\prime} C;\left(A C^{\prime} M\right)\right)=d\left(C;\left(A C^{\prime} M\right)\right)\).

Kẻ \(C H \perp A M; C K \perp C^{\prime} H\).

Do \(\left\{\begin{array}{l}C H \perp A M \\ C C^{\prime} \perp A M\end{array} \Rightarrow A M \perp\left(C C^{\prime} H\right) \Rightarrow A M \perp C K\right.\)

Mà \(C K \perp C^{\prime} H \Rightarrow C K \perp\left(A C^{\prime} M\right) \Rightarrow d\left(C;\left(A C^{\prime} M\right)\right)=C K\).

Ta có: \(B^{\prime} C^{\prime} M C\) là hình bình hành nên \(C M=B^{\prime} C^{\prime}=3\).

\(\frac{1}{d^{2}(B; A M)}=\frac{1}{A B^{2}}+\frac{1}{B M^{2}} \Rightarrow d(B; A M)=\frac{12}{\sqrt{13}}\)

\(\Rightarrow C H=\frac{1}{2} d(B; A M)=\frac{6}{\sqrt{13}}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(C^{\prime} C H\) ta có:

\(\frac{1}{C K^{2}}=\frac{1}{C H^{2}}+\frac{1}{C C^{\prime 2}} \Rightarrow C K=\frac{30}{19}\).

Đặt \(t=x^{2},(t \geq 0)\). Khi đó ta có phương trình: \((m-1) t^{2}+2(m-3) t+m+3=0\). (1)

Với \(m=1\) thì (1) \(\Leftrightarrow-4 t+4=0 \Leftrightarrow t=1 \Leftrightarrow x= \pm 1\) (Loại)

Với \(m \neq 1\) để phương trình ban đầu vô nghiệm thì:

TH1: (1) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta^{\prime}<0 \Leftrightarrow-8 m+12<0 \Leftrightarrow m>\frac{3}{2}\).

TH2: (1) có 2 nghiệm âm

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime} \geq 0 \\ \mathrm{t}_{1} \cdot \mathrm{t}_{2}>0 \\ \mathrm{t}_{1}+\mathrm{t}_{2}<0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-8 \mathrm{~m}+12 \geq 0 \\ \frac{\mathrm{~m}+3}{\mathrm{~m}-1}>0 \\ -\frac{2(\mathrm{~m}-3)}{\mathrm{m}+1}<0\end{array}\right.\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m} \leq \frac{3}{2} \\ \mathrm{~m} \in(-\infty;-3) \cup(1;+\infty) \\ \mathrm{m} \in(-\infty; 1) \cup(3;+\infty)\end{array} \Leftrightarrow \mathrm{m} \in(-\infty;-3)\right.\)

Kết hợp 2 trường hợp, ta được \(m \in(-\infty;-3) \cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)\).

Ta có: \(f(x)=k \cdot \sqrt[3]{x}+\sqrt{x}=k \cdot x^{\frac{1}{3}}+\sqrt{x}\).

\(f^{\prime}(x)=\frac{k}{3} x^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}=\frac{k}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\).

Để \(f^{\prime}(1)=\frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{k}{3}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \Leftrightarrow k=3\).

Vận tốc của vật là: \(v=s^{\prime}=-2 t^{2}+14 t\).

Vận tốc của vật đạt \(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) thì \(-2 t^{2}+14 t=12 \Leftrightarrow 2 t^{2}-14 t+12=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1 \\ t=6\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow\) Vật đạt vận tốc là \(12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) lần thứ 2 khi \(t=6\).

Lúc đó quãng đường vật đi được là:

\(s(6)=-\frac{2}{3} \cdot 6^{4}+7 \cdot 6^{2}+3=111\) (mét)