Câu hỏi:

Cho hàm số $y=\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{x^2-2x+2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng

(-\infty ;1)

B. Hàm số nghịch biến trên

\mathbb{R}

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(1;+\infty)

D. Hàm số đồng biến trên

\mathbb{R}

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có: $y = a^f(x)$ với $a = \dfrac{3}{4} < 1$, hàm số nghịch biến khi $f(x)$ tăng và đồng biến khi $f(x)$ giảm.
Xét $f(x) = x^2 - 2x + 2$, ta có $f'(x) = 2x - 2$.
Giải $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
Do đó, hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 7:

Hàm số $y=(x^2-3)\mathrm{e}^x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y=(x^2-3)e^x$, ta cần tìm đạo hàm của hàm số, sau đó giải bất phương trình $y' < 0$.

Tính đạo hàm: $y' = (2x)e^x + (x^2-3)e^x = (x^2+2x-3)e^x$.

Giải bất phương trình $y' < 0$: Vì $e^x > 0$ với mọi $x$, ta cần giải $x^2+2x-3 < 0$.

Tìm nghiệm của phương trình $x^2+2x-3 = 0$: $\Delta' = 1^2 - 1*(-3) = 4$. Vậy $x_1 = -1 - 2 = -3$ và $x_2 = -1 + 2 = 1$.

Xét dấu của tam thức bậc hai $x^2+2x-3$: Vì hệ số $a = 1 > 0$, tam thức âm trong khoảng giữa hai nghiệm, tức là $-3 < x < 1$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$. Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đạo hàm: $y' = (x^2 + 2x - 3)e^x$. Ta cần giải $x^2 + 2x - 3 < 0$, hay $(x+3)(x-1) < 0$. Suy ra $-3 < x < 1$.

Có vẻ như có một sự nhầm lẫn nhỏ trong các đáp án, nhưng nếu xét các đáp án gần đúng nhất, ta chọn đáp án D. Cần lưu ý là đoạn này không đúng hoàn toàn và cần xem xét lại đề bài nếu có sai sót.

Câu 8:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , có đạo hàm $f'(x)=(2-x)^2(x+2)^3(x-5)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ . Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để hàm số $y=f(x)$ nghịch biến thì $f'(x) < 0$.

Ta có $f'(x) = (2-x)^2(x+2)^3(x-5)$.

Vì $(2-x)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào $(x+2)^3(x-5)$.

$f'(x) < 0$ khi $(x+2)^3$ và $(x-5)$ trái dấu.

$f'(x) = 0$ khi $x = -2, x = 5, x = 2$

Xét dấu:

$x \in (-\infty; -2)$: $(x+2)^3 < 0$ và $(x-5) < 0$ nên $f'(x) > 0$

$x \in (-2; 5)$: $(x+2)^3 > 0$ và $(x-5) < 0$ nên $f'(x) < 0$

$x \in (5; +\infty)$: $(x+2)^3 > 0$ và $(x-5) > 0$ nên $f'(x) > 0$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; 5)$.

Câu 9:

Các khoảng đồng biến của hàm số $y=x^3-12x+12$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = x^3 - 12x + 12$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 12$

Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Lập bảng xét dấu đạo hàm:
Khi $x < -2$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến)
Khi $-2 < x < 2$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến)
Khi $x > 2$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến)

Vậy, các khoảng đồng biến của hàm số là $(-\infty; -2)$ và $(2; +\infty)$.

Câu 10:

Cho hàm số $y=\dfrac{3x+1}{x-1}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

$y' = \dfrac{(3x+1)'(x-1) - (3x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \dfrac{3(x-1) - (3x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{3x - 3 - 3x - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{-4}{(x-1)^2} < 0, \forall x \ne 1$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty)$.

Câu 11:

Hàm số $y=\sqrt{2\,024x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hàm số $y = \sqrt{2024x - x^2}$ nghịch biến, ta cần tìm khoảng mà đạo hàm của hàm số âm.

Tìm điều kiện xác định: $2024x - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x(2024 - x) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2024$. Vậy tập xác định là $D = [0; 2024]$.

Tính đạo hàm: $y' = \frac{2024 - 2x}{2\sqrt{2024x - x^2}} = \frac{1012 - x}{\sqrt{2024x - x^2}}$.

Xét dấu đạo hàm: $y' < 0 \Leftrightarrow 1012 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1012$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1012; 2024)$.

Câu 12:

Cho hàm số $y=x^4-2x^2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải: