Câu hỏi:

Hàm số $y=\ln (4-x^2)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

(-2;\,2)

(-\infty ;\,2)

(0;\,2)

(-2;\,0)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để hàm số $y = \ln(4 - x^2)$ đồng biến, ta cần:

Điều kiện xác định: $4 - x^2 > 0 \Leftrightarrow -2 < x < 2$
Tính đạo hàm: $y' = \frac{(4 - x^2)'}{4 - x^2} = \frac{-2x}{4 - x^2}$
Hàm số đồng biến khi $y' > 0 \Leftrightarrow \frac{-2x}{4 - x^2} > 0$
Vì $4 - x^2 > 0$ trên khoảng $(-2; 2)$, nên $y' > 0 \Leftrightarrow -2x > 0 \Leftrightarrow x < 0$

Kết hợp điều kiện xác định và điều kiện đồng biến, ta có hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 17:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $(-1;0)$ ?

Lời giải:

Đáp án đúng: a

Xét từng đáp án:

Đáp án A: $y=x^4-2x^2+1 \Rightarrow y'=4x^3-4x=4x(x^2-1)$. Trên $(-1;0)$, $y'>0$ nên hàm số đồng biến.
Đáp án B: $y=2x^3-6x^2+6x-9 \Rightarrow y'=6x^2-12x+6=6(x-1)^2 \ge 0$. Vậy hàm số đồng biến trên R.
Đáp án C: $y=\frac{x+1}{1-2x} \Rightarrow y'=\frac{1(1-2x)-(x+1)(-2)}{(1-2x)^2}=\frac{3}{(1-2x)^2}>0$. Vậy hàm số đồng biến.
Đáp án D: $y=x^4-\frac{3}{2}x^2-x+5 \Rightarrow y'=4x^3-3x-1$.
Xét $y'=0 \Leftrightarrow 4x^3-3x-1=0 \Leftrightarrow (x-1)(4x^2+4x+1)=0 \Leftrightarrow (x-1)(2x+1)^2=0$.
Suy ra $x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{2}$.
Trên khoảng $(-1;-\frac{1}{2})$, $y'<0$. Trên khoảng $(-\frac{1}{2};0)$, $y'<0$. Vậy hàm số nghịch biến trên $(-1;0)$.

Câu 18:

Hàm số $y=\sqrt{2x-x^2}-x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sqrt{2x - x^2} - x$, ta thực hiện các bước sau:

Tìm tập xác định của hàm số: $2x - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x(2 - x) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2$. Vậy tập xác định là $D = [0; 2]$.

Tính đạo hàm của hàm số:

$y' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} - 1 = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} - 1 = \frac{1 - x - \sqrt{2x - x^2}}{\sqrt{2x - x^2}}$

Xét dấu của đạo hàm:

$y' < 0 \Leftrightarrow 1 - x - \sqrt{2x - x^2} < 0 \Leftrightarrow 1 - x < \sqrt{2x - x^2} $.

Vì $x \in [0;2]$, ta xét hai trường hợp:

* Nếu $1 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1$, thì $1 - x < \sqrt{2x - x^2}$ luôn đúng.

* Nếu $1 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1$, thì $(1 - x)^2 < 2x - x^2 \Leftrightarrow 1 - 2x + x^2 < 2x - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{2}}{2} < x < \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$.

Kết hợp với $0 \le x \le 2$ và $x \le 1$, ta có $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} < x \le 1$.

Vậy $y' < 0$ khi $x \in (1; 2)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$.

Câu 19:

Cho hàm số $y=x.\ln x$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: $y = x \ln x$

$y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = \ln x + x.\dfrac{1}{x} = \ln x + 1$

$y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{e}$

Xét dấu $y'$:

Với $x \in (0; \dfrac{1}{e})$ thì $y' < 0$
Với $x \in (\dfrac{1}{e}; +\infty)$ thì $y' > 0$

Vậy hàm số đồng biến trên $(1;+\infty)$.

Câu 20:

Hàm số $y={\log_2}(x^2-3x+2)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hàm số $y = \log_2(x^2 - 3x + 2)$ nghịch biến, ta cần:

* Điều kiện xác định: $x^2 - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2) > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 2$.
* Xét hàm số $u(x) = x^2 - 3x + 2$. Ta có $u'(x) = 2x - 3$.
* Hàm số $y = \log_2(u(x))$ nghịch biến khi $u'(x) < 0$ và $u(x) > 0$.
* $u'(x) = 2x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}$.
* Kết hợp điều kiện $x < 1$ hoặc $x > 2$ và $x < \frac{3}{2}$, ta được $x < 1$.
* Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$.

Câu 1:

Hàm số $y=f(x)=3^{x^2-2x}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Xét hàm số $y = 3^{x^2-2x}$.
Hàm số đồng biến khi và chỉ khi $x^2 - 2x$ đồng biến.
Xét hàm số $g(x) = x^2 - 2x$.
$g'(x) = 2x - 2$.
$g'(x) > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1$.
Vậy hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$. Do đó, hàm số $y = 3^{x^2-2x}$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

Câu 2:

Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{2x+1}$ . Mệnh đề sau đây đúng?

Lời giải: