Câu hỏi:

Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{2x+1}$ . Mệnh đề sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên

\Big(-\dfrac{1}{2};+\infty\Big)

B. Hàm số đồng biến trên

\Big(-\infty ;\dfrac{1}{2}\Big)

C. Hàm số nghịch biến trên

(0;+\infty)

D. Hàm số đồng biến trên

(-2;+\infty)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có:

$y = \dfrac{x-1}{2x+1}$
$y' = \dfrac{(x-1)'(2x+1) - (x-1)(2x+1)'}{(2x+1)^2} = \dfrac{1(2x+1) - (x-1)2}{(2x+1)^2} = \dfrac{2x+1-2x+2}{(2x+1)^2} = \dfrac{3}{(2x+1)^2} > 0$ với mọi $x \neq -\dfrac{1}{2}$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-\dfrac{1}{2})$ và $(-\dfrac{1}{2};+\infty)$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 3:

Hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$, ta thực hiện các bước sau:

* Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 6x - 9$
* Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: $3x^2 - 6x - 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) = 0$. Vậy $x = -1$ hoặc $x = 3$.
* Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng:
* $x < -1$: Ví dụ $x = -2$, $y' = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Hàm số đồng biến.
* $-1 < x < 3$: Ví dụ $x = 0$, $y' = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0$. Hàm số nghịch biến.
* $x > 3$: Ví dụ $x = 4$, $y' = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$. Hàm số đồng biến.
* Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(4; 5)$ nằm trong $(3; +\infty)$.

Câu 4:

Trong các hàm số $y=\dfrac{x+1}{x+2}$ , $y=\tan x$ , $y=x^3+x^2+4x-2\,026$ , có bao nhiêu hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để xét tính đồng biến của các hàm số, ta xét đạo hàm của chúng:

$y=\dfrac{x+1}{x+2} = 1 - \dfrac{1}{x+2}$ có $y' = \dfrac{1}{(x+2)^2} > 0$ với mọi $x \neq -2$. Tuy nhiên hàm số không xác định tại $x=-2$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

$y=\tan x$ có $y' = 1 + \tan^2 x > 0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Tuy nhiên, hàm số không xác định trên $\mathbb{R}$ (ví dụ tại $x = \dfrac{\pi}{2}$), do đó không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

$y=x^3+x^2+4x-2026$ có $y' = 3x^2 + 2x + 4$. Xét $\Delta' = 1 - 3(4) = -11 < 0$ nên $y' > 0$ với mọi $x$. Do đó, hàm số này đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Vậy, chỉ có 1 hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Câu 5:

Hàm số $y=x^3 - 2x^2 + x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: $y' = 3x^2 - 4x + 1$

Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 4x + 1 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt là $x_1 = \dfrac{1}{3}$ và $x_2 = 1$

Lập bảng xét dấu đạo hàm $y'$:

Vì hệ số $a = 3 > 0$, nên $y' > 0$ khi $x < \dfrac{1}{3}$ hoặc $x > 1$, và $y' < 0$ khi $\dfrac{1}{3} < x < 1$.

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(\dfrac{1}{3}; 1)$.

Câu 6:

Cho hàm số $y=\Big(\dfrac{3}{4}\Big)^{x^2-2x+2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có: $y = a^f(x)$ với $a = \dfrac{3}{4} < 1$, hàm số nghịch biến khi $f(x)$ tăng và đồng biến khi $f(x)$ giảm.
Xét $f(x) = x^2 - 2x + 2$, ta có $f'(x) = 2x - 2$.
Giải $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$.
Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
Do đó, hàm số $y$ đồng biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

Câu 7:

Hàm số $y=(x^2-3)\mathrm{e}^x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y=(x^2-3)e^x$, ta cần tìm đạo hàm của hàm số, sau đó giải bất phương trình $y' < 0$.

Tính đạo hàm: $y' = (2x)e^x + (x^2-3)e^x = (x^2+2x-3)e^x$.

Giải bất phương trình $y' < 0$: Vì $e^x > 0$ với mọi $x$, ta cần giải $x^2+2x-3 < 0$.

Tìm nghiệm của phương trình $x^2+2x-3 = 0$: $\Delta' = 1^2 - 1*(-3) = 4$. Vậy $x_1 = -1 - 2 = -3$ và $x_2 = -1 + 2 = 1$.

Xét dấu của tam thức bậc hai $x^2+2x-3$: Vì hệ số $a = 1 > 0$, tam thức âm trong khoảng giữa hai nghiệm, tức là $-3 < x < 1$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-3;1)$. Tuy nhiên, đáp án này không có trong các lựa chọn. Kiểm tra lại đạo hàm: $y' = (x^2 + 2x - 3)e^x$. Ta cần giải $x^2 + 2x - 3 < 0$, hay $(x+3)(x-1) < 0$. Suy ra $-3 < x < 1$.

Có vẻ như có một sự nhầm lẫn nhỏ trong các đáp án, nhưng nếu xét các đáp án gần đúng nhất, ta chọn đáp án D. Cần lưu ý là đoạn này không đúng hoàn toàn và cần xem xét lại đề bài nếu có sai sót.

Câu 8:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , có đạo hàm $f'(x)=(2-x)^2(x+2)^3(x-5)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ . Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải: