Câu hỏi:

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , có đạo hàm $f'(x)=(2-x)^2(x+2)^3(x-5)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ . Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

(-2;+\infty)

(-2;5)

(-\infty ;-2)

(5;+\infty)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Để hàm số $y=f(x)$ nghịch biến thì $f'(x) < 0$.
Ta có $f'(x) = (2-x)^2(x+2)^3(x-5)$.
Vì $(2-x)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào $(x+2)^3(x-5)$.

$f'(x) < 0$ khi $(x+2)^3$ và $(x-5)$ trái dấu.
$f'(x) = 0$ khi $x = -2, x = 5, x = 2$

Xét dấu:

$x \in (-\infty; -2)$: $(x+2)^3 < 0$ và $(x-5) < 0$ nên $f'(x) > 0$
$x \in (-2; 5)$: $(x+2)^3 > 0$ và $(x-5) < 0$ nên $f'(x) < 0$
$x \in (5; +\infty)$: $(x+2)^3 > 0$ và $(x-5) > 0$ nên $f'(x) > 0$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; 5)$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Chủ đề Đạo hàm và khảo sát hàm số - Dạng 2: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 20

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 9:

Các khoảng đồng biến của hàm số $y=x^3-12x+12$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y = x^3 - 12x + 12$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 3x^2 - 12$

Giải phương trình $y' = 0$: $3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Lập bảng xét dấu đạo hàm:
Khi $x < -2$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến)
Khi $-2 < x < 2$, $y' < 0$ (hàm số nghịch biến)
Khi $x > 2$, $y' > 0$ (hàm số đồng biến)

Vậy, các khoảng đồng biến của hàm số là $(-\infty; -2)$ và $(2; +\infty)$.

Câu 10:

Cho hàm số $y=\dfrac{3x+1}{x-1}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

$y' = \dfrac{(3x+1)'(x-1) - (3x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \dfrac{3(x-1) - (3x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{3x - 3 - 3x - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{-4}{(x-1)^2} < 0, \forall x \ne 1$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty)$.

Câu 11:

Hàm số $y=\sqrt{2\,024x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hàm số $y = \sqrt{2024x - x^2}$ nghịch biến, ta cần tìm khoảng mà đạo hàm của hàm số âm.

Tìm điều kiện xác định: $2024x - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x(2024 - x) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2024$. Vậy tập xác định là $D = [0; 2024]$.

Tính đạo hàm: $y' = \frac{2024 - 2x}{2\sqrt{2024x - x^2}} = \frac{1012 - x}{\sqrt{2024x - x^2}}$.

Xét dấu đạo hàm: $y' < 0 \Leftrightarrow 1012 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1012$.

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1012; 2024)$.

Câu 12:

Cho hàm số $y=x^4-2x^2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, ta cần tìm đạo hàm của hàm số.
y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)
y' = 0 <=> 4x(x^2 - 1) = 0 <=> x = 0, x = 1, x = -1
Ta có bảng xét dấu của y':
* x thuộc (-inf; -1) => y' < 0: hàm số nghịch biến
* x thuộc (-1; 0) => y' > 0: hàm số đồng biến
* x thuộc (0; 1) => y' < 0: hàm số nghịch biến
* x thuộc (1; +inf) => y' > 0: hàm số đồng biến
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-inf; -1) và (0; 1), đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +inf).

Câu 13:

Các khoảng đồng biến của hàm số $y=x^4-8x^2-4$ là

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm khoảng đồng biến của hàm số $y=x^4-8x^2-4$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm bậc nhất: $y' = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)$
2. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: $y' = 0 \Leftrightarrow x = -2, x = 0, x = 2$
3. Lập bảng xét dấu đạo hàm:
* $x < -2$: $y' < 0$ (hàm nghịch biến)
* $-2 < x < 0$: $y' > 0$ (hàm đồng biến)
* $0 < x < 2$: $y' < 0$ (hàm nghịch biến)
* $x > 2$: $y' > 0$ (hàm đồng biến)
4. Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2; 0)$ và $(2; +\infty)$.

Câu 14:

Hàm số $y=-x^3+3x-5$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Lời giải: