Câu hỏi:

Phương pháp giải

Lập bảng xét dấu \(y^{\prime}\) của hàm số \(y=f\left(x^{2}-5\right)\)

Lời giải

Xét hàm số \(y=f\left(x^{2}-5\right)\)

Ta có: \(y^{\prime}=2 x \cdot f^{\prime}\left(x^{2}-5\right), y^{\prime}=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x^{2}-5=-4 \\ x^{2}-5=-1 \\ x^{2}-5=2\end{array} \Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x= \pm 1 \\ x= \pm 2 \\ x= \pm \sqrt{7}\end{array}\right.\right.\)

Các nghiệm của phương trình \(y^{\prime}=0\) đều là nghiệm bội lẻ, do \(y^{\prime}(3)=6 \cdot f^{\prime}(4)>0\), ta có bảng xét dấu \(y^{\prime}\) :

Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng: \((-\infty ; \sqrt{7}),(-2 ;-1),(0 ; 1),(2 ; \sqrt{7})\)

Phương pháp giải

Úng dụng hệ thức Viet, quy tắc xét dấu tam thức bậc 2.

Lời giải

Tập xác định : \(D=R\)

Ta có: \(y^{\prime}=x^{2}-m x+2 m\)

Vì \(a=1>0\) nên hàm số đã cho nghịch biến trên 1 đoạn khi và chỉ khi phương trình \(y^{\prime}=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta>0\)

\(\Delta=m^{2}-8 m>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<0 \\ m>8\end{array}\right.\)

Gọi \(x_{1}, x_{2}\) là nghiệm của phương trình \(y^{\prime}=0\), theo định lí Viet ta có: \(\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=m \\ x_{1} \cdot x_{2}=2 m\end{array}\right.\)

Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài là 3

\(\Rightarrow\left|x_{1}-x_{2}\right|=3 \Leftrightarrow\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}=9 \Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2 x_{1} x_{2}=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}=9\)

\(\Rightarrow m^{2}-8 m=9 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-1 \\ m=9\end{array}\right.\)

Kết hợp với điều kiện nghiệm ta thấy cả hai giá trị của \(m\) đều thỏa mãn yêu cầu bài toán

Phương pháp giải

Xét dấu \(y^{\prime}\) để suy ra tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải

Tập xác định: \(D=(-\infty ; 1) \cup(1 ;+\infty)\)

Ta có : \(y^{\prime}=\frac{2}{(1-x)^{2}}>0 \forall x \in D\)

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

Phương pháp giải

Số cực trị của hàm số \(y=|f(x)|\) là tổng số cực trị của hàm số \(y=f(x)\) và số nghiệm của phương trình \(f(x)=0\)

Lời giải

Ta có: Công thức tổng quát tìm số cực trị của hàm số \(y=|f(x)|: S=a+b\)

Trong đó: \(a\) là số điểm cực trị của hàm số \(y=f(x), b\) là số nghiệm của phương trình \(f(x)=0\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Số điểm cực trị của đồ thị \(y=f(x-2001)-2019\) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x) \Rightarrow a=2\)

Xét phương trình \(f(x-2001)-2019=0 \Leftrightarrow f(x-2001)=2019\)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của ĐTHS \(y=f(x-2001)\) và đường thẳng \(y=2019\) (không tính điểm tiếp xúc)

Đồ thị hàm số \(y=f(x-2001)\) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số \(y=f(x)\) sang phải theo chiều dương của tia Ox 2001 đơn vị

Đồ thị hàm số \(y=f(x-2001)\) cắt đường thẳng \(y=2019\) tại 2 điểm trong đó có 1 điểm tiếp xúc

\(\Rightarrow b=1\)

Vậy số cực trị hàm số \(y=|f(x-2001)-2019|\) là \(a+b=3\)

Phương pháp giải

Ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì chắc chắn có 1 nghiệm \(x_{0}=\frac{-b}{3 a}\)

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(x^{3}-3 m x^{2}+6 m x-8=0\left({ }^{*}\right)\)

Phương trình \(\left(^{*}\right)\) có 3 nghiệm lập thành \(\mathrm{CSC} \Rightarrow\) Phương trình luôn có 1 nghiệm: \(x=\frac{-b}{3 a}=m\)

Thay \(x=m\) vào phương trình \((*)\) ta được: \(m^{3}-3 m^{3}+6 m^{2}-8=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-1 \\ m=2\end{array}\right.\)

Thay lại các giá trị của \(m\) vào phương trình \(\left(^{*}\right)\) ta thấy giá trị \(m=-1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.