Câu hỏi:

Do \(a, b\) là các số thực dương và \(\frac{1}{2} \log _{2} a=\log _{2} \frac{2}{b} \Leftrightarrow \log _{2} \sqrt{a}=\log _{2} \frac{2}{b} \Leftrightarrow a b^{2}=4\).

Đặt \(t=4 a^{3}+b^{3}=4 a^{3}+\frac{b^{3}}{2}+\frac{b^{3}}{2} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} b^{6}}=3 a b^{2}=12\).

Khi đó \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)=t-4 \log _{2} t=f(t)\).

Ta có \(f^{\prime}(t)=1-\frac{4}{t \ln 2}>0, \forall t \geq 12\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(f(t)\) là \(f(12)=12-4 \log _{2} 12=12-4\left(2+\log _{2} 3\right)=4-4 \log _{2} 3\).

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=4 a^{3}+b^{3}-4 \log _{2}\left(4 a^{3}+b^{3}\right)\) là \(4-4 \log _{2} 3\).

Từ đó ta có \(x=y=4, x=3\). Tổng \(x+y+z\) bằng 11.

Đặt \(t=\sin x+\cos x(-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x=\frac{t^{2}-1}{2}\)

\(P T \Leftrightarrow \frac{t^{2}-1}{2}-m t+1=0 \Leftrightarrow t^{2}-2 m t+1=0(*)\)

Để PT có nghiệm thì pt (*) phải có nghiệm trong đoạn \([-\sqrt{2} ; \sqrt{2}]\)

Sử dụng mô hình tam thức

Mô hình 1. có 1 nghiệm thuộc \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\Delta^{\prime}=0 \\ -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}\end{array}\right.  \\\left\{\begin{array}{c}\Delta^{\prime}>0 \\ f(-\sqrt{2}) f(\sqrt{2}) \leq 0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}m^{2}-1=0 \\ -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{c}m^{2}-1>0 \\ (3+2 m \sqrt{2})(3-2 m \sqrt{2}) \leq 0\end{array}\right.\end{array}\right.\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m= \pm 1 \\ {\left[\begin{array}{l}m>1 \\ m<-1\end{array}\right.} \\ \left\{\begin{array}{l}m \leq-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ m \geq \frac{3}{2 \sqrt{2}}\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m= \pm 1 \\ m \leq-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ m \geq \frac{3}{2 \sqrt{2}}\end{array}\right.\right.\)

Mô hình 2. có 2 nghiệm thuộc

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta^{\prime}>0 \\ \text { af }(-\sqrt{2}) \geq 0 \\ \text { af }(\sqrt{2}) \geq 0 \\ -\sqrt{2} \leq \frac{S}{2} \leq \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-1>0 \\ 2+2 m \sqrt{2}+1 \geq 0 \\ 2-2 m \sqrt{2}+1 \geq 0 \\ -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m>1, m<-1 \\ m \geq-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ m \leq \frac{3}{2 \sqrt{2}} \\ -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2}\end{array} \Leftrightarrow-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \leq m<-1 ; 1<m \leq \frac{3}{2 \sqrt{2}}\right.\right.\right.\)

Vậy \(-\frac{3}{2 \sqrt{2}} \leq m \leq-1 ; 1 \leq m \leq \frac{3}{2 \sqrt{2}}\).

Điều kiện: \(x \neq 0\)

Xét \(x>0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(4 x+\frac{3}{x}=\frac{5}{3} x+\frac{5}{3} x+\frac{2 x^{2}+9}{3 x} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{5}{3} x \cdot \frac{5}{3} x \cdot \frac{2 x^{2}+9}{3 x}}=\sqrt[3]{25 x\left(2 x^{2}+9\right)}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{5}{3} x=\frac{2 x^{2}+9}{3 x} \Leftrightarrow x=\sqrt{3}\)

Xét \(x<0\), áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(-4 x-\frac{3}{x}=-\frac{5}{3} x-\frac{5}{3} x-\frac{2 x^{2}+9}{3 x} \geq 3 \sqrt[3]{\left(-\frac{5}{3} x\right) \cdot\left(-\frac{5}{3} x\right) \cdot\left(-\frac{2 x^{2}+9}{3 x}\right)}=-\sqrt[3]{25 x\left(2 x^{2}+9\right)}\)

\(\Leftrightarrow 4 x+\frac{3}{x} \leq \sqrt[3]{25 x\left(2 x^{2}+9\right)}, \forall x<0\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\left[\begin{array}{l}x=\sqrt{3} \\ x<0\end{array}\right.\).

Cơ sở \(A\) giá mét khoan đầu tiên là 8000 VND và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 VND so với giá của mét khoan ngay trước đó.

+ Nếu đào giếng 20 m hết số tiền là: \(S_{20}=\frac{20}{2}[2.8000+(20-1) 500]=255000\) VND.

+ Nếu đào giếng 25 hết số tiền là: \(S_{25}=\frac{25}{2}[2.8000+(25-1) 500]=350000\) VND.

Cơ sở \(B\) giá của mét khoan đầu tiên là 6000 VND và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm \(7 \%\) giá của mét khoan ngay trước đó.

+ Nếu đào giếng 20 hết số tiền là: \(T_{20}=6000 \frac{1-(1,07)^{20}}{1-1,07} \approx 245973\) VND.

+ Nếu đào giếng 25 hết số tiền là: \(T_{25}=6000 \frac{1-(1,07)^{25}}{1-1,07} \approx 379494\) VND.

Ta thấy \(T_{20}<S_{20}, T_{25}>S_{25}\) nên giếng 20 m chọn \(B\) còn giếng 25 m chọn \(A\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số:

\(\frac{x^{3}+m}{x-1}=-x+2(x \neq 1) \Leftrightarrow-x^{3}-x^{2}+3 x-2=m(x \neq 1)(*)\).

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Xét hàm số \(f(x)=-x^{3}-x^{2}+3 x-2\) trên \((-\infty ; 1) \cup(1 ;+\infty)\).

Ta có: \(f^{\prime}(x)=-3 x^{2}-2 x+3, f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_{1}=\frac{-1-\sqrt{10}}{3} \\ x_{2}=\frac{-1+\sqrt{10}}{3}\end{array}\right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(f(x)\) :

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=f\left(x_{1}\right) \\ m=f\left(x_{2}\right) \\ m=f(1)\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{-83-20 \sqrt{10}}{27} \\ m=\frac{-83+20 \sqrt{10}}{27} \\ m=-1\end{array} \Rightarrow \sum m=-\frac{193}{27} \approx-7,15\right.\right.\)

Vậy tổng các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là \(-7,15\).