Trọng hệ tọa độ cực, cho hai đường cong r = 1 − sin(θ) và r = sin(θ) có hình vẽ như bên cạnh.

a. Tìm giao điểm của hai đường cong trên (viết theo hệ Oxy hoặc hệ cực đều được)

b. Tính diện tích miền được tô nền xám

Câu hỏi yêu cầu tìm giao điểm và tính diện tích của hai đường cong trong hệ tọa độ cực. **Phần a: Tìm giao điểm** Để tìm giao điểm của hai đường cong r = 1 − sin(θ) và r = sin(θ), ta cho hai biểu thức của r bằng nhau: 1 − sin(θ) = sin(θ) 1 = 2sin(θ) sin(θ) = 1/2 Trong khoảng [0, 2π), các giá trị của θ thỏa mãn điều kiện này là θ = π/6 và θ = 5π/6. Khi θ = π/6, r = sin(π/6) = 1/2. Tọa độ cực là (1/2, π/6). Khi θ = 5π/6, r = sin(5π/6) = 1/2. Tọa độ cực là (1/2, 5π/6). Ngoài ra, cần xem xét trường hợp hai đường cong có thể giao nhau tại cực (r=0). Đường cong r = 1 - sin(θ) có r = 0 khi sin(θ) = 1, tức là θ = π/2. Tuy nhiên, tại θ = π/2, r = sin(π/2) = 1 ≠ 0. Đường cong r = sin(θ) có r = 0 khi sin(θ) = 0, tức là θ = 0 hoặc θ = π. Tại θ = 0 hoặc θ = π, r = 1 - sin(0) = 1 và r = 1 - sin(π) = 1, đều khác 0. Ta cũng cần kiểm tra xem có trường hợp nào r của đường cong thứ nhất bằng r của đường cong thứ hai với θ khác nhau nhưng biểu diễn cùng một điểm hay không. Tuy nhiên, với dạng hàm số này và miền xác định của θ, các giao điểm tìm được ở trên là duy nhất. Để biểu diễn theo hệ Oxy, ta sử dụng công thức x = r*cos(θ) và y = r*sin(θ). Tại (1/2, π/6): x = (1/2)cos(π/6) = (1/2)(√3/2) = √3/4, y = (1/2)sin(π/6) = (1/2)(1/2) = 1/4. Tọa độ Oxy là (√3/4, 1/4). Tại (1/2, 5π/6): x = (1/2)cos(5π/6) = (1/2)(-√3/2) = -√3/4, y = (1/2)sin(5π/6) = (1/2)(1/2) = 1/4. Tọa độ Oxy là (-√3/4, 1/4). **Phần b: Tính diện tích miền được tô nền xám** Miền tô xám là miền nằm bên trong đường tròn r = sin(θ) và bên ngoài đường cong r = 1 - sin(θ). Tuy nhiên, nhìn vào hình vẽ, miền tô xám nằm bên trong đường cong r = sin(θ) và đối xứng qua trục Oy. Do tính đối xứng của hình vẽ và công thức hàm số, ta có thể tính diện tích của một nửa miền rồi nhân đôi. Miền xám nằm hoàn toàn trong đường tròn r = sin(θ). Tuy nhiên, cách giải thích ban đầu về miền tô xám cần điều chỉnh dựa trên hình vẽ. Miền tô xám được giới hạn bởi đường cong r = sin(θ) ở phía trên (phần nằm trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai) và đường cong r = 1 - sin(θ) ở phía dưới. Để tính diện tích miền được tô nền xám, ta cần xác định miền tích phân. Nhìn vào hình vẽ, miền xám là phần nằm **bên trong** đường cong r = sin(θ) và **bên ngoài** đường cong r = 1 - sin(θ) trong một số khoảng của θ. Tuy nhiên, hình vẽ minh họa cho thấy miền tô xám là phần nằm bên trong đường r = sin(θ) trong khoảng [0, π] và có giới hạn dưới là trục hoành hoặc đường cong r = 1 - sin(θ). Nếu xem xét kỹ hình vẽ, miền tô xám là phần diện tích của đường tròn r = sin(θ) nằm phía trên trục hoành (tức là khi y >= 0, tương ứng với 0 <= θ <= π) mà phần bên trong đường cong r = 1 - sin(θ) đã bị loại bỏ. Nhưng hình vẽ này khá khó diễn giải một cách chính xác. Giả sử miền tô xám là miền được tạo ra bởi đường cong r = sin(θ) trong khoảng [0, π] trừ đi phần diện tích chung với r = 1-sin(θ). Một cách hiểu khác và có thể phù hợp hơn với hình vẽ là miền tô xám là phần diện tích của đường cong r = sin(θ) trong khoảng θ từ 0 đến π, nhưng chỉ lấy phần nằm phía trên đường cong r = 1 - sin(θ). Tuy nhiên, nếu xét các giao điểm đã tìm ở phần a, thì miền tô xám có vẻ là phần diện tích của đường cong r = sin(θ) nằm trong khoảng mà nó 'bao' lấy đường cong r = 1 - sin(θ). Nhưng điều này không đúng. Cách diễn giải phù hợp nhất với hình vẽ là miền xám là một phần của đường cong r = sin(θ). Cụ thể, miền xám là phần diện tích được tạo bởi đường cong r = sin(θ) cho các giá trị của θ từ 0 đến π, nhưng trừ đi phần diện tích tạo bởi đường cong r = 1 - sin(θ) trong khoảng tương ứng mà nó giao nhau. Nếu ta hiểu miền xám là phần diện tích của đường tròn r = sin(θ) được giới hạn bởi các giao điểm đã tìm, tức là phần nằm giữa θ = π/6 và θ = 5π/6, và phía trên đường cong r = 1 - sin(θ), thì công thức tính diện tích trong hệ tọa độ cực là: A = 1/2 * ∫[α, β] r^2 dθ Miền xám rõ ràng nằm bên trong đường r = sin(θ). Đường cong r = 1 - sin(θ) là một đường hình tim. Miền xám nằm ở phần trên của hình tim và là một phần của đường tròn. Dựa trên hình vẽ, miền xám là phần diện tích của đường cong r = sin(θ) cho θ chạy từ 0 đến π, nhưng phần dưới của nó được cắt bởi đường cong r = 1 - sin(θ). Do đó, ta cần tính diện tích của đường r = sin(θ) trong khoảng nào đó, và trừ đi diện tích của đường r = 1 - sin(θ) trong khoảng tương ứng. Tuy nhiên, cách tính diện tích thông thường cho miền giữa hai đường cong là: A = 1/2 * ∫[α, β] (r_ngoài^2 - r_trong^2) dθ Nhìn hình vẽ, miền xám nằm **bên trong** đường cong r = sin(θ) và **bên trên** đường cong r = 1 − sin(θ). Các giao điểm tìm được là tại θ = π/6 và θ = 5π/6. Trong khoảng (π/6, 5π/6), ta có sin(θ) > 1/2 và 1 - sin(θ) < 1/2. Vậy r = sin(θ) là đường ngoài và r = 1 - sin(θ) là đường trong trong khoảng này. Diện tích miền xám A sẽ là: A = 1/2 * ∫[π/6, 5π/6] [ (sin(θ))^2 - (1 - sin(θ))^2 ] dθ A = 1/2 * ∫[π/6, 5π/6] [ sin^2(θ) - (1 - 2sin(θ) + sin^2(θ)) ] dθ A = 1/2 * ∫[π/6, 5π/6] [ sin^2(θ) - 1 + 2sin(θ) - sin^2(θ) ] dθ A = 1/2 * ∫[π/6, 5π/6] [ 2sin(θ) - 1 ] dθ Bây giờ ta tính tích phân: ∫ (2sin(θ) - 1) dθ = -2cos(θ) - θ Áp dụng cận từ π/6 đến 5π/6: [ -2cos(5π/6) - 5π/6 ] - [ -2cos(π/6) - π/6 ] = [ -2(-√3/2) - 5π/6 ] - [ -2(√3/2) - π/6 ] = [ √3 - 5π/6 ] - [ -√3 - π/6 ] = √3 - 5π/6 + √3 + π/6 = 2√3 - 4π/6 = 2√3 - 2π/3 Vậy diện tích A là: A = 1/2 * (2√3 - 2π/3) A = √3 - π/3 Lưu ý: Cách giải thích này dựa trên việc diễn giải hình vẽ là miền nằm giữa hai đường cong tại các giao điểm của chúng. Nếu miền xám có ý nghĩa khác, đáp án sẽ thay đổi.